निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्वारा स्थापना कीजिएः
a. `|veca+vecb|le|veca|+|vecb|`
b. `|veca+vecb|ge||veca|-|vecb||`
c. `|veca-vecb|le|veca|+|vecb|`
d. `|veca-vecb|ge||veca|-|vecb||`
इनमें समिका (समता) का चिन्ह कब लागू होता है?

Explanation

दो सदिशों `veca` और `vecb` पर विचार करते हैं जो कि समांतर चतुर्भुज OPSQ की भुजा `vec(OP)` और `vec(OQ)` द्वारा निरूपित होते हैं। समान्तर चतुर्भुज के योग सदिश नियम से `(veca+vecb)` को `vec(OS)` सदिश द्वारा निरूपित किया गया है।

चित्र से `OP=|veca|,OQ=PS=|vecb|`
और `OS=|veca+vecb|`
a. सिद्ध करना है `|veca+vecb|le|veca|+|vecb|`
प्रमाण- हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में एक भुजा की लम्बाई सदैव शेष रही दो भुजाओं की लम्बाई के योग से कम होती है।
इसलिए `DeltaOPS` में
`OSltOP+PS`
या `OSltOP+OQ`
या `|veca+vecb|lt|veca|+|vecb|`……….1
यदि दोनों सदिश एक ही सरल रेखा के अनुदिश एक ही दिशा में कार्य कर रहे हैं। अर्थात समरैखिक हैं तब
`|veca+vecb|=|vea|+|vec |`…………..2
समीकरण 1 तथा 2 की शर्त को शामिल करते हुए
`|veca+vecb|le|veca|+|vecb|`
बराबर का चिन्ह तभी लागू होता है जब सदिश समरेखीय तथा एक ही दिशा में कार्यरत हो।
b. सिद्ध करना है `|veca+vecb|ge||veca|-|vecb||`
प्रमाण- किसी त्रिभुज में एक भुजा अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है।
`DeltaOPS` में
`OS+PSgtOP`
या `OSgt|OP-PS|`
या `OSgt|OP-OQ|`..3
`:'PS=OQ`
(OP-OQ) का मापांक लिया जा चुका है। इसलिए LHS सदैव धनात्मक होगा। लेकिन RHS का मान ऋणात्मक भी हो सकता है यदि `OPltPS` इस प्रकार समीकरण 3 से
`|veca|+vecb|gt||veca|-|vecb||`………4
यदि दो सदिश `veca` तथा `vecb` एक ही सरल रेखा के अनुदिश विपरीत दिशा में कार्य कर रहे हैं, तब
`|veca+vecb|=||veca|-|vecb||`………5
समीकरण 4 तथा 5 को शामिल करने पर
`|veca+vecb|ge||veca|-|vecb||`
c. सद्धि करना है `|veca-vecb|lt|veca|+|vecb|`
प्रमाण- फिर `DeltaOPR` में
`OP=|veca|,PR=|-vecb|=vecb,OR=|veca-vecb|`
अब त्रिभुज से
`ORltOP+PR`
या `|veca-vecb+lt|veca|+|vecb|`……..6
अब यदि सदिश `veca` व `vecb` एक ही रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं में कार्यरत है तो
`|veca-vecb|=|veca|+|vecb|`……….7
समीकरण 6 तथा 7 को शामिल करने पर
`|vecaa-vecb|le|veca|+|vecb|`
d. सिद्ध करना है `|veca-vecb|ge||veca||-|vecb||`
चूंकि किसी भी त्रिभुज मे एक भुजा दोनों भुजाओं के अंतर से अधिक होती है अतः
`DeltaOPR` से
`OR+PRgtOP`
या `ORgt|OP-PR|`
या `ORgt|OP-OT|` ………..8
`:'OT=PR`
यहां पर `(OP-OT)` का मापांक सदैव धनात्मक ही प्राप्त होगा। इसका अर्थ यह है कि `LHS` का माना सदैव धनात्मक ही होगा, लेकिन RHS का मान ऋणात्मक भी हो सकता है यदि
`OPltOT`
तब समीकरण 8. `|veca-vecb|gt||veca|-|vecb||` ……..9
यदि दोनों सदिश व एक सरल रेखा के अनुदिश एक ही दिशा में कार्य करते हैं, तब
`|veca-vecb|-||veca|-|vecb||` ……..10
समीकरण 9 तथा 10 को शामिल करने पर
`|veca-vecb|ge||veca|-|vecb||`