किसी खुले मैदान में कोई मोटर चालक एक ऐसा रास्ता अपनाता है जो प्रत्येक 500 m के बाद उसके बाईं ओर `60^(@)` के कोण पर मुड़ जाता है। किसी दिए मोड़ से शुरू होकर मोटर चालक का तीसरे, छठे व आठवें मोड़ पर विस्थापन बताइए। प्रत्येक स्थिति में मोटर चालक द्वारा इन मोड़ों पर तय की गई कुल पथ लंबाई के साथ विस्थापन के परिमाण की तुलना कीजिए।

Explanation

यहां पर मोटर चालक द्वारा चला हुआ पथ बंद षट्कोण ABCDEF है जिसकी एक भुजा का मान 500 मीटर है।

मोटर चालक अपनी यात्रा बिंदु A से आरम्भ करता है। तीसरे मोड़ के अंत में वह D पर पहुंचता है तथा 6वें मोड़ के अंत में A पर पहुंचता है तथा बिंदु C पर 8वें के अंत में पहुंचता है।
(i) तीसरा मोड़- तीसरा मोड़ D पर है।
D पर विस्थापन सदिश `=vec(AD)=2xxAG`
`2xx500=1000m=1km`
कुल पथ की लम्बाई A से D तक `=AB+BC+CD`
`=500+500+500`
`=1500m`
`=1500/1000km=1.5km`
अब `("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=1/1.5=0.67`
(ii) छठा मोड़- छठे मोड़ के अंत में चालक आरंभिक बिंदु A पर है। अतः इसका विस्थापन सदिश शून्य होगा।
जबकि पथ की मुल लम्बाई `=AB+BC+CD+DE+EF+FA`
`=500+500+500+500+500+500`
`=6xx500=3000m`
`=3000/1000km=3km`
अब `("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=0/3=0`
(iii) आठवां मोड़- मोटर चालक इस मोड़ पर बिंदु C पर होता है। `:.` मोटर चालक का विस्थापन
`=vec(AC)=vec(AB)+vec(BC)`
`:.AC` का परिमाण
`=sqrt((AB)^(2)+(BC)^(2)+2(AB)(BC)cos 60^(@))`
`=sqrt((500)^(2)+(500)^(2)+2xx500x500xx1/2)`
`=sqrt((500)^(2)+(500)^(2)+(500)^(2))`
`=sqrt(3xx(500)^(20)=500sqrt(3)`
`=500xx1.732 (:' sqrt(3)=1.732)`
`=866m`
दिशा निर्धारण
माना आठवें मोड़ की दिशा `beta` कोण पर है।
`:.tan beta=(500 sin 60^(@))/(500+500 cos 60^(@))=(500xx(sqrt(3))/2)/(500+500xx1/2)`
`=(250sqrt(3))/750=(sqrt(3))/3=(sqrt(3))/(sqrt(3)xxsqrt(3))=1/(sqrt(3))`
`tan beta=1/(sqrt(3))=tan 30^(@)`
`:.beta=30^(@)`
अतः आठवें मोड़ पर चालक का विस्थापन `500sqrt(3)` मी. दिशा AB की प्रारंभिक दिशा से `30^(@)` पर।
पथ की कुल लंबाई `=8xx500`
`=4000` मी.
`=4` किमी.
अब `("विस्थापन का परिमाण")/("पथ की कुल लम्बाई")=(500sqrt(3))/4000`
`=(sqrt(3))/8=0.22`