a.सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के x- अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं
`theta(t)=tan^(-1)((v_(oy)-"gt")/(v_("ox")))`
b. सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान `theta_(0)=tan^(-1)((4h_(m))/R)` होगा। यहां प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य है।

Explanation

a.माना समय t पर प्रक्षेप्य बिंदु P पर है। माना समय t पर प्रक्षेप्य का वेग v है जो P पर वक्र की स्पर्शजया की ओर कार्य करता है। माना t समय पर वेग v के क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर घटक क्रमशः `v_(x)` व `v_(y)` हैं। अब oy के अनुदिश O से P तक प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर गति को लेते हैं।

`v_(y)=u_(y)+a_(y)t` का उपयोग करने पर
`v_(u)=(u_(y)-"gt")`…….1
यहां पर `a_(y)=-g` है।
OX के अनुदिश
`v_(x)=u_(x)+0=u_(x)`…….2
माना बिंदु `P` पर परिणामी वेग क्षैतिज से `theta` कोण बनाता है।
`tan theta=(v_(y))/(v_(x))` …….3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से
`tan theta=(u_(y)-"gt")/(u_(x))`
`theta=tan^(-1)((y_(y)-"gt")/(u_(x)))`
या `theta=tan^(-1)((v_(oy)-"gt")/(v_("ox")))`
b. `alpha=` समय `t=0` पर मूल O से प्रेक्षप्य कोण
`h_(m)=` प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई
R=प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास
u= समय t=0 पर प्रक्षेप वेग
यदि t=0 पर u के घटक क्षैतिज `u_(x)` तथा ऊर्ध्वाधर `u_(y)` हैं तो
`u_(x)=u cos alpha`
तथा `u_(u)=u sin alpha`
हम जानते हैं।
`R=(u^(2)sin 2 alpha)/g`………..4
तथा `h_(m)=(u^(2)sin^(2)alpha)/(2g)`…………5
समीकरण 5 में 4 का भाग देने पर
`(h_(m))/R=(u^(2)sin^(2)alpha)/(2g)xxg/(u^(2)sin2alpha)`
या `(h_(m))/R=(sin^(2)alpha)/(2xx2sin alpha cos alpha)=1/4(sin alpha)/(4 cos alpha)`
या `(h_(m))/R=1/4tan alpha`
या `tan alpha=(4h_(m))/R`
या `alpha=tan^(-1)((4h_(m))/R)`