किसी समबाहु त्रिभुज ABC के प्रत्येक शीर्ष पर m  kg के तीन समान द्रव्यमान रखे हैं।
(a) इस त्रिभुज के केन्द्रक G पर रखे 2m kg के द्रव्यमान पर कितना बल आरोपित हो रहा है?
(b)यदि शीर्ष A पर रखे द्रव्यमान को दोगुना कर दिया जाये, | तो कितना बल आरोपित होगा? AG = BG = CG = 1 m लीजिए। (देखिए चित्र)

Explanation

चित्र में किसी समबाहु त्रिभुज ABC के प्रत्येक शीर्ष पर m kg, के तीन समान द्रव्यमान रखे हैं। इसके केन्द्रक G पर कोई द्रव्यमान (2m) रखा गया है।

(a) धनात्मक-अक्ष तथा GC के बीच का कोण 30° है।और इतना ही कोण ऋणात्मक x अक्ष तक GB के बीच बनता है
बिन्दु A पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित (2m) द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vecF_(GA)=frac(G(m)(2m))((AG)^(2))GA`के अनुदिशvecF_(GA)=frac(2Gm^(2))(1)j`
बिन्दु B पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित | (2m) द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vecF_(GB)=frac(G(m)(2m))(BG)BG`के अनुदिश,
` vecF_(GB)=frac(2Gm^(2))(1)(iC0s30°jsin30° )` बिन्दु C पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित 2m द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vecF_(GC)=frac(G(m)(2m))(CG)^(2))GC`के अनुदिश
`Rightarrow vecF(GC)=frac(2Gm^(2))(1)(iC0s 30°- jsin 30°)`
अध्यारोपण सिद्धान्त तथा सदिश योग नियम के अनुसार (2m) पर परिणामी गुरुत्वाकर्षण
बल`vecF_(R)=vecF_(GA)+vecF_(GB)+vecF_(GC)`
`vecF_(R)=2GM^(2)hatj+2GM^(2)(-iC0s°30-hatjsin°30)`
`+2GM^(2)(iC0s°30-jsin°30)`
`=2GM^(2)(hatj-iC0s°30-hatjsin°30+iC0s°30-hatjsin30°)`
`=2GM^(2)(hatj-hatj)=0`
अतः त्रिभुज के केन्द्रक पर शून्य बल आरोपित हो रहा है।(b) अब यदि बिन्दु A पर स्थित द्रव्यमान को दुगुना अर्थात् (2m) कर दिया जाये तब
`vecF_(GA)=frac(G(2m)(2m))(1)hatj`
`frac(4Gm^(2))(1)hatj`
जबकि `vecF_(GB)` तथा `vecF(GC)` अपरिवर्तित रहेंगे।
`thereforevecF_(R) = vecF_(GA)+vecF_(GB)+vecF_(GC)`
`=4Gm^(2)hatj+2Gm^(2) (-iC0s 30° –hatj sin 30°)`
`+ 2Gm^(2) (hatiC0s30° -- hatjsin 30°)`
`= 26m^(2) (2hatj-hatiC0s 30°- hatjsin 30°` +
`hatiC0s30°- hatjsin 30°)`

`= 26m^(2)(2hatj- 2hatj sin 30°) = 2Gm^(2)(2hatj-hatj)`2Gm^(2)hatj` Ans.