समान त्रिज्या R परन्तु द्रव्यमान M तथा 4M द्रव्यमान के दो एकसमान ठोस गोले इस प्रकार रखें हैं कि इनके केंद्रों के बीच पृथकन चित्र में दर्शाएं अनुसार 6R है। दोनों गोले स्थिर रखे गए हैं। m द्रव्यमान के किसी प्रक्षेप्य को M द्रव्यमान के गोले के पृष्ठ से 4M द्रव्यमान के गोले के केंद्र की ओर सीधे प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप्य की उस न्यूतम चाल के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए जिससे फेंके जाने पर वह दूसरे गोले तक पहुँच जाए।

Explanation

दिया गया है-m द्रव्यमान के किसी प्रक्षेप्य को M द्रव्यमानके गोले के पृष्ठ से 4M द्रव्यमान के गोले के केन्द्र की ओर सीधे प्रक्षेपित किया जाता है।प्रक्षेप्य पर दो गोलों के परस्पर विरोधी गुरुत्वीय बल कार्य करते हैं। यहाँ पर Nएक उदासीन बिन्दु है। जहाँ पर दो बल यथार्थतः एकदूसरे को निरस्त करते हैं। यदि ON = r है तो
`(GMm)/(r^2)=(4GMm)/(6R-r)^2`
`(6R-r)^2=pm2r`
धनात्मक चिन्ह लेने पर
`6R-r=+2r`
`6R=2r+r=3r`
`because r=2R`
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर
`6R-r=-2r`
`6R=-2r+r=-r`
`r=-6R`
`r=-6R` कोई सम्बन्ध नहीं रखता है।
`ON=r=2R`
M द्रव्यमान के गोले के पृष्ठ पर यांत्रिक ऊर्जा
`E_m=(1)/(2)mv^2-(GMm)/(R)-(G(4M)m)/5R`
बिन्दु N पर कुल यांत्रिक ऊर्जा
`E_n=-(GMm)/(r)-(G(4M)m)/(6R-r)`
बिन्दु N पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा ही होतीहैं
`E_N=-(GMm)/(2R)-(4GMm)/(6R-2R)``E_N=-(GMm)/(2R)-(4GMm)/(4R)`
`E_N=-(GMm)/(2R)-(4GMm)/(4R)`
`E_N=-(3)/(2)(GMm)/(R)`
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण नियमानुसार
`E_M-E_N`
`(1)/(2)mv^2-(GMm)/R-(4GMm)/(5R)=-(3)/(2)(GMm)/(R)`
`(1)/(2)mv^2=(GMm)/(R)[1+(4)/(5)-(3)/(2)]=(3)/(10)(GMm)/(R)`
`V^2=(3)/(5)-(GM)/(R)`
`V=sqrt((3)/(5)(GM)/(R)`