पृथ्वी के पृष्ठ से उर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर कोई रॉकेट 5 किमी /सेकण्ड की चाल से दागा जाता है । पृथ्वी पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट पृथ्वी से कितनी दूरी तक जायेगा ? पृथ्वी का द्रव्यमान`=6.0xx10^(24)` किग्रा , पृथ्वी की माध्य त्रिज्या `=6.4xx10^(6)` मीटर तथा `G=6.67xx10^(-11)" मीटर"^(2)//किग्रा^(2)`|

Explanation

दिया गया हैरॉकेट की आरम्भिक चाल = 5 km/s
= `5 xx 10^(3)` m/s
पृथ्वी का द्रव्यमान `M_(E) = 6.0 x 10^(24)` kg
`R_(E) = 6.4 x 10^(6)` m
G =` 6.67 xx 10^(-11) Nm^(2)//kg^(2) `
जब रॉकेट का वेग समाप्त हो जाता है तब यह पृथ्वी तल से h ऊँचाई पर पहुँच जाता है। अर्थात् वेग शून्य हो जाता है। यदि m रॉकेट का द्रव्यमान है तब पृथ्वी तल पर इसकी कुल ऊर्जा
KE + PE = `1/2 mv^(2) - (GM_(E)m)/R_(E)` ..........(i).
जहाँ पर `M_(E)` = पृथ्वी का द्रव्यमान, `R_(E)`= पृथ्वी की त्रिज्या, G= सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।
उच्चतम बिन्दु पर KE = 0
P.E = `(GM_(E)m)/(R_(E) + h)` .....(2)
`:.`h ऊँचाई पर रॉकेट की कुल ऊर्जा = 0 + P.E = P.E = `(GM_(E)m)/(R_(E) + h)` ..........(3)
Rg+h ऊर्जा संरक्षण नियमानुसार समीकरण (1) तथा (3) से
`1/2 mv^(2) - (GM_(E)m)/(R_(E)) =- (GM_(E)m)/(R_(E) + h)`
`:. i/1 v_(2) = (GM_(E))/R_(E) - (GM_(E))/(R_(E) + h) = (GM_(E))/(R_(E))(1 - R_(E)/(R_(E) + h))`
`(g R_(E)^(2))/R_(E) (1 - R_(E)/(R_(e) + h)) :. GM_(e) = Rg_(E)^(2)`
`(gR_(E)h)/(R_(E) + h)`
`1/2 v^(2) = (gR_(E) h)/(R_(E) + h)`
= `v^(2) r_(E) + v^(2) h = 2g R_(E)h`
= `v^(2)R_(E) = h[2g R_(E)h - v^(2)]`
h = `(v^(2) R_(E))/2gR_(E) - v^(2)` ...........(4)
मान रखने पर h = `((5xx10^(3))^(2)xx6.4xx10^(6))/(2xx9.8xx6.4xx10^(6) - (5xx10^(3))^(2))`
`(160xx10^(6))/100.44`
1600`m^(2)`
पृथ्वी के केन्द्र से दूरी
= `R_(E) + h`
=`6.4xx10^(6) + 1.6xx10^(6)`
= `8.0xx 10^(6)` m