(a) हम जानते है की वायु के घनत्व `rho` ऊँचाई y (मीटरो में ) के साथ इस संबंध के अनुसार घटता है:
`rho=rho_(0)e^(-y//yo)`
यहाँ समुद्र तल पर वायु का घनत्व `rho_(o)=1.25kgm^(-3)` तथा `y_(o)` एक नियतांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमंडल का नियम कहते है। यह संकल्पना करते हुए कि वायुमंडल का ताप नियत रहता है। (समतापी अवस्था) इस नियम को प्राप्त कीजिए। यह भी मानिए की g का मान नियत रहता है।
(b) `1425m^(3)` आयतन का हीलियम से भरा कोई बड़ा गुब्बारा 400kg के किसी पेलोड को उठाने के काम में लाया जाता है। यह मानते हुए कि ऊपर उठते समय गुब्बारे की त्रिज्या नियत रहती है, गुब्बारा कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा?
`[y_(o)=8000m` तथा `rho_(He)=0.18kgm^(-3)` लीजिए।

Explanation

(a) हम जानते है कि हवा के घनत्व में कमी की दर ऊँचाई (y) के समानुपाती होती है।
`(-drho)/(dy)proprho`
या `(drho)/(dy)=-Krho`
यहाँ पर K समानुपाती स्थिरांक है। ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि जब हवा के घनत्व में कमी होती है तो ऊँचाई (y) का मान बढ़ता है।
`:.(drho)/(rho)=-Kdy`
सीमा के अंतर्गत समाकलन करने पर y का मान o से y तक बदलता है और हवा का घनत्व `rho_(o)` से `rho` तक बदलता है।
`int_(rho_(o))^(rho)(drho)/(rho)=-Kint_(o)^(y)Kdy`
`(log_(e)rho)_(rho_(0))^(rho)=-Ky`
या `log_(e)rhotlog_(e)rho_(o)=-Ky`
या `log_(e)""(rho)/(rho_(0))=e^(-ky)" या "rho=rho_(o)e^(-ky)`
यहाँ पर K एक स्थिरांक है। कल्पना कीजिए कि `y_(0)` एक स्थिरांक है। इस तरह से-
`K=(1)/(y_(0))` तब
`rho=P_(o)e^((-y)/(y_(0)))" ".........(1)`
(b) माना गुब्बारा y ऊँचाई तक ऊपर उठेगा, जहाँ पर उसका घनत्व हवा के घनत्व के बराबर होगा।
गुब्बारे का घनत्व `rho=("द्रव्यमान")/("आयतन")`
`rho=("पोलैंड +He का द्रव्यमान")/("आयतन")`
`=("पोलैंड + आयतन xx घनत्व")/("आयतन")`
`=((400+1425xx0.18)kg)/(1425m^(3))`
समीकरण (1) में मान रखने पर-
`(655.5)/(1425)=1.25e^(-(y)/(8000))`
या `e^(-(y)/(8000))=(656.5)/(1425xx1.25)`
या `e^(-(y)/(8000))=(1425xx1.25)/(656.5)=2.7132`
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर-
`log_(e)[e^((y)/(800))]=log_(e)2.7132`
`(y)/(8000)log_(e)e`
`=log_(e)2.7132=2.3026log_(10)2.7132`
या `(y)/(8000)xx1=2.3026log_(10)2.7132`
या `(y)/(8000)=2.3026xx0.4335`
या `(y)/(8000)~=1`
या `y=8000m=8km`
यदि ऊँचाई के साथ y के मान में परिवर्तन को लिया जाये तो ऊँचाई लगभग 8.2km आयेगी।