किसी अवमंदित दोलक के लिए गुटके का द्रव्यमान m = 200 g, k = 90 N`m^(-1)` तथा अवमंदन स्थिरांक b = 40g`s^(-1)` है। (a) दोलन का आवर्तकाल, (b) वह समय जिसमें इसके कम्पन का आयाम अपने आरम्भिक मान का आधा रह जाता है तथा (c) वह समय जिसमें यांत्रिक ऊर्जा अपने आरम्भिक मान की आधी रह जात है, परिकलित कीजिये।

Explanation

दिया है गुटके का द्रव्यमान (m) = 200 ग्राम = 0.2 किग्रा.
k=90 न्यूटन/मी.
अवमंदन नियतांक b = 40 ग्राम/से.
b=0.04 किग्रा./से
अतः अनुपात `b/sqrt(km)` = `0.04/ sqrt(90xx0.2)`
`0.04/sqrt(18)` = `0.04/4.243` = 0.0094 <<अतः अवमन्दन लघु है। अतः आवर्तकाल, सरल आवर्त गति व्यंजक से ज्ञात कर सकते हैं।
(a) आवर्तकाल T = `(2pi sqrt(m/k))`
मान रखने पर T = `2xx3.14 sqrt(0.2/90)` = 6.28xxsqrt(1/450)
= 6.28xx0.047 = 0.295 से
T `~~ `0.3 से
(b) माना वह समय T, सेकण्ड है जिसमें आयाम घटकर अपने आरम्भिक आयाम का आधा रह जाता है तो A = `A_(0) e^((-2b)/(2m))`
जहाँ `A_(0) `= प्रारम्भिक आयाम है
अत: यदि A = `1/2 A_(0)` , t = T_(1) तब
`1/2 A_(0) = A_(0) e^((-2b)/(2m))`
`e^((-2b)/(2m))` = 2
य `log_(e) 2 = (-bT_(1))/2m`
य `T_(1) = (2m)/b log_(e) 2`
(2.3026 xx2m)/b log_(10)2
य T_(1) = `(2.3026xx2xx0.2xx0.3010)/0.04`
`T_(1) = 0.93` से.
य `log_(e) 2 = (bT_(2))/m`
य `T_(2) = m/b log_(e) 2`
`T_(2)` = `(2.3026xx0.2xx0.3010) xx m/b log_(10) 2`
मान रखने पर
`T_(2) = (2.3026xx0.2xx0.3010)/0.4`
य `T_(2) =` 3.46 सेकण्ड