एक त्रिज्या `R` तथा लम्बाई `l` के एक समान बेलन का उसके अभिलम्ब द्विभाजक के सापेक्ष जड़त्व आधूर्ण `I` है। जड़त्व आधूर्ण के निम्नतम मान के लिए अनुपात `l//R` क्या होगा ?

Options

A. `sqrt((3)/(2))`
B. `(sqrt(3))/(2)`
C. `1`
D. `(3)/(sqrt(2))`

Answer

A

Explanation

ठोस बेलन की लम्बाई के अभिलम्ब दिभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण ,
`l=M((l^(2))/(12)+(R ^(2))/(4))`
`impliesl=(mR^(2))/(4)+(ml^(2))/(12)`
`=(m^(2))/(4pirhol)+(ml^(2))/(12)` `[ :. rho pi R^(2)l=m]`
`l` के अधिकतम मान के लिए `(dl)/(dl)=-(m^(2))/(4pi rho)((1)/(l^(2)))+(ml)/(6)=0`
`implies(m^(2))/(4pi rho)=(ml^(3))/(6)`
`impliesl^(3)=(3m)/(2pi rho)`
`impliesl=((3)/(2))^(1//3)((m)/(pi rho))^(1//3)`
`rho=(m)/(piR^(2)l)`
`impliesR^(2)=(m)/(pi rhol)`
`impliesR^(2)=(m)/(pi rho)((2)/(3))^(1//3)((pirho)/(m))^(1//3)`
`=((m)/(pi rho))^(2//3)((2)/(3))^(1//3)`
`impliesR=((m)/(pirho))^(1//3)((2)/(3))^(1//6)`
`(l)/(R )=(((3)/(2))^(1//3)((m)/(pi rho))^(1//3))/(((m)/(pi rho))^(1//3)((2)/(3))^(1//6))=((3)/(2))^(1//3)+((3)/(2))^(1//6)`
`:. (l)/(R )=sqrt((3)/(2))`