If `o` be the sum of odd terms and `E` that of even terms in the expansion of `(x+a)^n` prove that: `O^2-E^2=(x^2-a^2)^n` (ii) `4O E=(x+a)^(2n)-(x-a)^(2n)` (iii) `2(O^2+E^2)=(x+a)^(2n)+(x-a)^(2n)`

Answer

N/a

Explanation

`(x+a)^(n) =^(n)C_(0).x^(n)+^(n)C_(1).x^(n-1).a`
`+^(n)C_(2).x^(n-2).a^(2)+^(n)C_(3).x^(n-3).a^(3)`
`+....+^(n)C_(n-1).x.a^(n-1)+^(n)C_(n).a^(n)`
`=[^(n)C_(0).x^(n)+^(n)C_(2).x^(n-2).a^(2)+^(n)C_(4).x^(n-4)`
`.a^(4)+....]+[.^(n)C_(1).x^(n-1).a`
`+^(n)C_(3).x^(n-3).a^(3)+^(n)C_(5).x^(n-5).a^(5)+.....]`
`rArr " "(x+a)^(n)=O+E " "("Given") ....(1)`
`" and " (x-a)^(n)=^(n)C_(0).x^(n)-^(n)C_(1).x^(n-1).a+^(n)C_(2).X^(n-2). a^(2)`
`-^(n)C_(3).x^(n-3).a^(3)+....+^(n)C_(n-1).x.(-a)^n-1)`
`+^(n)C_(n).(-a)^(n)`
`=[.^(n)C_(0)x^(n)+^(n)C_(2)x^(n-2).a^(2)+^(n)C_(4).x^(n-4).a^(4)`
`+......]-[.^(n)C_(1).x^(n-1).a`
`+^(n)C_(3).x^(n-3)a^(3)+^(n)C_(5).x^(n-5).a^(5)+.....]`
`rArr (x-a)^(n)=O-E " "......(2)`
`(i) L.H.S. =O^(2)-E^(2)`
`=(O+E).(O-E)`
`=(x+a)^(n).(x-a)^(n)`
`=[(x+a).(x-a)]^(n)`
`=(x^(2)-a^(2))^(n)=R.H.S. " ""Hence Proved"`
(ii) L.H.S. =4OE
`=(O-E)^(2)-(O-E)^(2)`
`=[(x+a)^(n)]^(2) [(x-a)^(n)]^(2)]`
`=(x+a)^(2n)-(x-a)^(2n)=R.H.S." ""Hence Proved"`
`(iii) L.H.S. =2(O^(2)+E^(2))`
`=(O^(2)+E^(2)+2OE)+(O^(2)+E^(2)-2OE)`
`=(O+E)^(2) +(O-E)^(2)`
`[(x+a)^(n)]^(2)+[(x-a)^(n)]^(2)`
`=(x+a)^(2n)+(x-a)^(2n)`
`=R.H.S. " ""Hence Proved"`