Find `(a+b)^4-(a-b)^4dot` Hence evaluate `(sqrt(3)+sqrt(2))^4-(sqrt(3)-sqrt(2))^4`

Answer

N/a

Explanation

From binomial theorem,
`:. (a+b)^(4)=.^(4)C_(0)a^(4)b^(0)+.^(4)C_(1)a^(3)b^(1)+.^(2)C_(2)a^(2)b^(2)+.^(4)C_(3)a^(1)b^(3)+.^(4)C_(4)a^(0)b^(4)`
`=.^(4)C_(0)a^(4)+.^(4)C_(1)a^(3)b+.^(4)C_(2)a^(2)b^(2)+.^(4)C_(3)ab^(3)+.^(4)C_(4)b^(4)`
and `(a-b)^(4)=.^(4)C_(0)a^(4)(-b)^(0)+.^(4)C_(1)a^(3)(-b)^(1)+.^(4)C_(2)a^(2)(-b)^(2)+.^(4)C_(3)a^(1)(-b)^(3)+.^(4)C_(4)a^(0)(-b)^(4)`
`=.^(4)C_(0)a^(4)-.^(4)C_(1)a^(3)b+.^(4)C_(2)a^(2)b^(2)-.^(4)C_(3)ab^(3)+.^(4)C_(4)b^(4)`
`:. (a+b)^(4)-(a-b)^(4)`
`=(.^(4)C_(0)a^(4)+.^(4)C_(1)a^(3)b+.^(4)C_(2)a^(2)b^(2)+.^(4)C_(3)ab^(3)+.^(4)C_(4)b^(4)) - (.^(4)C_(0)a^(4)-.^(4)C_(1)a^(3)b+.^(4)C_(2)a^(2)b^(2)-.^(4)C_(3)ab^(3)+.^(4)C_(4)b^(4))`
`=2 .^(4)C_(1)a^(3)b+2.^(4)C_(3)ab^(3) = 2ab[.^(4)C_(1)a^(2)+.^(4)C_(3)b^(2)]`
`=2ab[4a^(2)+4b^(2)]=8ab(a^(2)+b^(2))`
Therefore, `(a+b)^(4)-(a-b)^(4)=8ab(a^(2)+b^(2))`
put `a=sqrt(3)` and `b=sqrt(2)`,
`(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)=8sqrt(3).sqrt(2)(3+2)`
`=8sqrt(6).(5)=40sqrt(6)`.
Therefore, `(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)=40sqrt(6)`