Find the value of `(a^2+sqrt(a^2-1))^4+(a^2-sqrt(a^2-1))^4`.

Answer

N/a

Explanation

From binomial theorem
`"("a^(2)+sqrt(a^(2)-1)")"^(4)`
`=^(4)C_(0)(a^(2))^(4)+^(4)C_(1)(a^(2))^(3)sqrt(a^(2)-1)+^(4)C_(2)(a^(2))^(2)`
`"0("sqrt(a^(2)-1)")"^(2)+^(4)C_(3)(a^(2))^(1)"("sqrt(a^(2)-1)")"^(3)+^(4)C_(4)"("sqrt(a^(2)-1)")"^(4)`
`=1.a^(8)+4.a^(6)sqrt(a^(2)-1)+6a^(4)(a^(2)-1))`
`+4a^(2)(a^(2)-1)sqrt(a^(2)-1)+(a^(2)-1)^(2)`
`:. (a^(2)+sqrt(a^(2)-1))^(4)`
`=a^(8)+4a^(6)sqrt(a^(2-1))+6a^(2)-1)^(2)`
Similarly,
`(a^(2)-sqrt(a^(2)-1))^(4)=a^(8)-4a^(6)sqrt(a^(2)-1)+6a^(4)(a^(2)-1)`
`-4a^(2)(a^(2)-1)sqrt(a^(2)-1)+(a^(2)-1)^(2)`
`:. (a^(2)+sqrt(a^(2)-1))^(4)+(a^(2)-sqrt(a^(2)-1))^(4)`
`=2a^(8)+12a^(4)(a^(2)-1)+2(a^(2)-1)^(2)`
`=2a^(8)+12a^(6)=12a^(4)+2a^(4)-4a^(2)+2`
`=2a^(8)+12a^(6)-10a^(4)-4a^(2)+2`