Without expanding, prove that :
`|{:(1+b,b+c,c+a),(p+q,q+r,r+p),(x+y,y+z,z+x),(x+y,y+z,z+x):}|=2|{:(a,b,c),(p,q,r),(x,y,z):}|`

Explanation

`|{:(1+b,b+c,c+a),(p+q,q+r,r+p),(x+y,y+z,z+x),(x+y,y+z,z+x):}|`
`=|{:(2(a+b+c),b+c,c+b),(2(p+q+r),q+r,r+p),(2(x+y+z),y+z,z+x):}|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`|{:(a+b+c,b+c,c+a),(p+q+r,q+r,r+p),(x+y+z,y+z,z+x):}|`
`=2|{:(1,b+c,c+a),(p,q+r,r+p),(x,y+z,z+x):}|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(2))`
`=2|{:(1,b+c,c),(p,q+r,r),(x,y+z,z):}|`
`(C_(3)toC_(3)-C_(1))`
`=2|{:(1,b,c),(p,q,r),(x,y,z):}|(C_(2)toC_(2)-C_(3))`
=R.H.S. Hence Proved.