If `A=[{:(1,-1),(2,3):}]`, shown that `A^(2)-44+5I=o`. Hence Find `A^(-1)`.

Explanation

`A=[{:(1,-1),(2,3):}]`
`rArr" "A^(2)=A.A=[{:(1,-1),(2,3):}][{:(1,-1),(2,3):}]`
`[{:(1-2,-1-3),(2+6,-2+9):}]=[{:(-1,-4),(8,7):}]`
`"Now, L.H.S."=A^(2)-4A+5I`
`[{:(-1,-4),(8,7):}]-4[{:(-1,-1),(2,3):}]+5[{:(1,0),(0,1):}]`
`[{:(-1,-4),(8,7):}]-[{:(4,-4),(8,12):}]+[{:(5,0),(0,):}]`
`[{:(0,0),(0,0):}]=o=R.H.S.`
`"Now "|A|=|{:(1,-1),(2,3):}|=3-(-2)=5ne0`
therefore, `A^(-1)` exists.
`therefore" "A^(2)-4A+5I=0 `
`rArr A^(-1)(A^(2)-4A+5I)=A^(1).O`
`rArr" "A-4I+5A^(-1)=4I-A`
`=[{:(1,0),(0,1):}]-[{:(1,-1),(2,3):}]=[{:(3,1),(-2,1):}]`
`rArr=A^(-1)=1/5[{:(3,1),(-2,1):}].`