If `A=[3 2 7 5]` and `B=[6 7 8 9]` , verify that `(A B)^(-1)=B^(-1)A^(-1)` .

Explanation

`A=[{:(3,7),(2,5):}]`
`rArr" |A| = "[{:(3,7),(2,5):}]=15-14=1`
`A_(11)=(-1)^(2)5=5, A_(12)=(-1)^(3)2=-2`
`A_(21)=(-1)^(3)7=-7, A_(22)=(-1)^(4)3=3`
`therefore" adj A="=[{:(5,-2),(-7,3):}]=[{:(5,-7),(-2,3):}]`
`B=[{:(6,8),(7,9):}]`
`rArr" "|B|=[{:(6,8),(7,9):}]=54-56=-2`
`B_(11)=(-1)^(2)9=9,B_(12)=9-1)^(3)7=-7`
`B_(21)=(-1)^(3)8 = -8, B_(22)=(-1)^(4)6=6`
`therefore" adj B="=[{:(9,-7),(-8,6):}]=[{:(6,-8),(-7,6):}]`
`"and B"^(-1) =1/|B|"adj B"=1/-2[{:(9,-8),(-7,6):}]`
`"Now, B"^(-1)A^(-1)-1/2[{:(9,-8),(-7,6):}][{:(5,-7),(-2,3):}]`
`=-1/2[{:(45+16,-63-34),(-35-12,49+18):}]`
`=-1/2[{:(61,-87),(-47,67):}]`
`AB=[{:(3,7),(2,5):}][{:(6,8),(7,9):}]`
`=[{:(18+49,24+63),(12+35,16+45):}]=[{:(67,87),(47,61):}]`
`rArr" "|AB|=|{:(67,87),(47,61):}|=4087-4089=-2`
Cofactors of AB,
`(AB)_(11)=(-1)^(2)61=61, (AB)_(12)=(-1)^(3)47=-47`
`(AB)_(21)=(-1)^(3)87=-87, (AB)_(22)=(-1)^(4)67=67`
`therefore " adj (AB) = "|{:(61,-47),(-87,67):}|=|{:(61,-87),(-47,67):}|`
`"and (AB)"^(1)=1/|AB|"adj (AB)=1/-2|{:(61,-47),(-87,67):}|`
`"therefore,(AB)"^(-1)=B^(-1)A^(-1)`