If `A=[2-1 1-1 2-1 1-1 2]` . Verify that `A^3-6A^2+9A-4I=O` and hence find `A^(-1)` .

Explanation

`A=[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}],`
`therefore" "A^(2)=A.A=[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}][{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]`
`[{:(4+1+1+,-2-2-1,2+1+2),(-2-2-1,1+4+1,-1-2-2),(2+1+2,-1-2-2,1+1+4):}]=[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]`
`A^(3)=A^(2).A=[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}][{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]`
`[{:(12+5+5,-6-10-5,6+5+10),(-10-6-5,5+12+5,-5-6-10),(10+5+6,-5-10-6,5+5+12):}]`
`[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]`
`"Now L.H.S.=" A^(3)-6A^(2)+9A-4I`
`[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]-6[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]`
`+9[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]-4[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`=[{:(22,-21,21),(-21,22,21),(21,-21,22):}]+[{:(-36,30,-30),(30,-30,30),(-30,30,-30):}]`
`+[{:(18,-9,9),(-9,18,-9),(9,9-,18):}]+[{:(-4,0,0),(0,-4,0),(0,0,-4):}]`
`=[{:(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0):}]=0=R.H.S.`
`"Now |A|="[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]`
=2(4-1)-(-1)(-2+1)+1(1-2)
`=6-1-1=ne0`
`therefore A^(-1)`exists.
We have proved that `A^(3)-6A^(2)+9A-4I=0`
`rArr A^(-1)(A^(3)-6A^(2)+9A-4I)=A^(-1)0`
`rArr" "A^(2)-6A+9I-4A^(-1)=0`
`rArr" "4A^(-1)=A^(-1)A^(2)-6A+9I`
`[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]-6[{:(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2):}]+9[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`[{:(6,-5,5),(-5,6,-5),(5,-5,6):}]+[{:(-12,6,-6),(6,-12,6),(-6,6,-12):}]+[{:(9,0,0),(0,9,0),(0,0,9):}]`
`A^(-1)=1/4[{:(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3):}]`
`rArr" "A^(-1)=1/4[{:(3,1,-1),(1,3,1),(-1,1,3):}]`