यदि `alpha, beta ne 0`, `f(n) = alpha^(n) + beta^(n)`

तथा `|(3,1 +f(1),1 + f(2)),(1+ f(1),1+ f(2),1+ f(3)),(1+ f(2),1+ f(3),1+ f(4))| = K (1-alpha)^(2) (1- beta)^(2) (alpha -beta)^(2)` है, तब `K` का मान है

Answer

1

Explanation

दिया है,

`f(n) = alpha^(n) + beta^(n)`

अतः

`f(1) = alpha + beta`

`f(2) = alpha^2 + beta^2`

`f(3) = alpha^3 + beta^3`

`f(4) = alpha^4 + beta^4`

तथा

`|(3,1 +f(1),1 + f(2)),(1+ f(1),1+ f(2),1+ f(3)),(1+ f(2),1+ f(3),1+ f(4))| = K (1-alpha)^(2) (1- beta)^(2) (alpha -beta)^(2)`

`LHS``=|(3,1 +f(1),1 + f(2)),(1+ f(1),1+ f(2),1+ f(3)),(1+ f(2),1+ f(3),1+ f(4))| `

`=|(1+1+1,1 +alpha + beta,1 + alpha^2 + beta^2),(1+ alpha + beta,1+ alpha^2 + beta^2,1+ alpha^3 + beta^3),(1+ alpha^2 + beta^2,1+ alpha^3 + beta^3,1+ alpha^4 + beta^4)|`

दो सरल सारणिको मे तोड़ने पर

`= |(1,1,1),(1,alpha,beta),(1,alpha^2,beta^2)|``|(1,1,1),(1,alpha,alpha^2),(1,beta,beta^2)|`

चूंकि सारणिक का परिवर्त लेने पर उसका मान समान रहता है, अतः पहली सारणिक का परिवर्त लेने पर

`=|(1,1,1),(1,alpha,alpha^2),(1,beta,beta^2)|``|(1,1,1),(1,alpha,alpha^2),(1,beta,beta^2)|`

`=|(1,1,1),(1,alpha,alpha^2),(1,beta,beta^2)|^2`

`R_3 -> R_3 - R_1` व `R_2 -> R_2 - R_1`

`=|(1,1,1),(0,alpha-1,alpha^2 -1),(0,beta-1,beta^2 -1)|^2`

`=|(1,1,1),(0,alpha-1,(alpha-1)(alpha+1)),(0,beta-1,(beta-1)(beta+1))|^2`

`= (alpha-1)^2(beta-1)^2|(1,1,1),(0,1,alpha+1),(0,1,beta+1)|^2`

`= (alpha-1)^2(beta-1)^2[beta+1-alpha-1]^2`

`= (-(1-alpha))^2(-(1-beta))^2[-(alpha-beta)]^2`

`= (1-alpha)^(2) (1- beta)^(2) (alpha -beta)^(2)` ....(i)

`RHS =``K(1-alpha)^(2) (1- beta)^(2) (alpha -beta)^(2)`.....(ii)

समीकरण (i) व (ii) से

`K = 1` प्राप्त होगा चूंकि `LHS = RHS` ज्ञात है।