If `A=[{:(1,2),(-1,3):}]B=[{:(4,0),(1,5):}],C=[{:(2,0),(1,-2):}]` a=4 and b=-2, then show that (i) (a+b)B=aB+bB (ii) a(C-A)=aC-aA (iii) `(bA)^(T)=bA^(T)`

Explanation

we have, `A=[{:(1,2),(-1,3):}],B=[{:(4,0),(1,6):}]`
`C=[{:(2,0),(1,-2):}]` and a=4,b=-2
(i) ` A+(B+C)=[{:( 1,2) ,(-1,3):}]+[{(:(6,0),(2,3):}]=[{:(7,2),(1, 6):}]`
and `(A+B)+C= [{:(5,2),( 0,8):}]+[{:(2,0),(1,-2):}]`
`=[{:(7,2),(1,6):}]=A+(B+C)`
(ii) (BC)`=[{:(4,0) ,(1,5):}][{:(2,0),(1,-2):}]=[{:(8,0),(7,-10):}]`
and ` A(BC)=[{:(1,2),(-1, 3):}][{:(8,0),(7,-10):}]`
`=[{:(8+14, 0 -20),(-8+21,0-30):}]=[{:(22,-20),(13,3 0):}]`
and Also `(AB)=[{:(1,2),(-1,3):}][{:(4,0),(1,5):}]=[{:(6,10),(-1,15):}]`
`(AB)C=[{:(6 ,1 0) ,( -1,15):}][{:(2,0),(1,-2):}]`
`=[{:(22,-20),(13,-30):}]=A(BC)`
(iii) `(a+ b)B=(4-2)[{:(4, 0),(1,5):}]`
`=[{:(8,0),(2,10):}]`
and `aB=bB=4B-2B`
`=[{:(16,0),(4,20):}]-[{:(8,0),(2,10):}]`
`=[{:(8, 0),(2,10):}]`
`=(a+b)B`
(iv) `(C-A)=[{:(2-1,0-2),(1+1,-2-3):}]=[{:(1,-2),(2,-5):}]`
and `a(C-A)=[{:(4,-6),(8,-20):}]`
Also, `aC=aA=[{:(8,0),(4-8)-[{:(4,8),(-4,12):}]=[{:( 4,-6),(8,-20):}]`
(v) `A^(T)=[{:(1,2) ,( -1,3):}]=[{:(1,-1),(2,3):}]`
Now, `(A^(T))^(T)= [{:(1,2),( -1,3):}]^(T)`
=A
(vi) `(bA)^(T)= [{:(-2,-4),(2,-6) :}]^(T)`
`=[{:(-2 ,2),(-4,-6):}]`
and `A^(T)=[{:(1,-1),(2,3):}]`
`bA^(T)=[{:(-2,2),(-4,-6):}]=(bA)^(T)`
(vii) `AB=[{:( 1,2),(-1,3):}][{:(4,0),(1,5):}]=[{:(4+2, 0+12),(-4+3,0+15):}]=[{:(6,10),(-1,15):}]`
`therefore (AB)^(T)=[{:( 6,-1),( 10,15):}]`
Now, `B^(T)A^(T)=[{:(4,1),(0,5):}][{:(1,-1),(2,3):}]=[{:(6,-1),(10,15):}]`
`= (AB)^(T)`
(viii) `(A-B) =[{:( 1-4,2-0),(-1-1, 3-5):}]=[{:(-3,2),(-2,-2):}]`
`(A-B)C=[{:( -3,2),(-2,-2):}][{:(2,0),(1,-2):}]=[{:(4,-4),(1,- 6):}]`
and `BC=[{:(4,0),(1,5):}][{:(2,0),(1 ,-2):}]=[{:(8,0),(7,-10):}]`
`therefore AC- BC=[{:(4-8,-4 ,-0) ,(1-7,-6+10):}]`
`=(A-B)C`
(ix) `(A-B)^(T)=[{:(1-4, 2-0),(-1-1,3-5):}]^(T)`
`=[{:(-3,-2),(2,-2):}]=(A-B)^(T)`