If `A=[{:(3,-5),(-1,2):}]` then find `A^(2)-5A- 4I`.

Explanation

We have `A=[{:(3,-5),(-4,2):}]`
`therefore A^(2)=A.A=[{:(3,-5),(-4,2):}][{:(3,-5),(-4,2):}]`
`=[{:(3,-5),(-4,2):}]`
`=[{:(29,-25),(-20,24):}]`
`A^(2)-5A-14I=[{:(29,-25),(-20,24):}]-[{:(15,-25),(-20,10):}]-[{:(14,0),(0,14):}]`
`=[{:(0,0),(0,0):}]`
Now, `A^(2)-5A-14I=0`
`rArr A.A^(2)-5A.A-14A I=0`
`rArr A^(3)-5A^(2)-14A=0 [because A I=A]`
`rArr A^(3)=5A^(2)=14A`
`=5[{:(29,-25),(-20,24):}]+14[{:(3,-5),(-4,2):}]`
`=[{:(145,-125),(-100,120):}]+[{:(42,-70),(-56,28):}]`
`=[{:(187,-195),(-156,148):}]`