If `sectheta+tantheta=p ,` prove that `sintheta=(p^2-1)/(p^2+1)`

Explanation

L.H.S.`=(p^(2)-1)/(p^(2)+1)=((sectheta+tantheta)^(2)-1)/((sectheta+tantheta)^(2)+1)=(sec^(2)theta+tan^(2)theta+2secthetatantheta-1)/(sec^(2)theta+tan^(2)theta+2secthetatantheta+1)`
`=((sec^(2)theta-1)+tan^(2)theta+2secthetatantheta)/(sec^(2)theta+(tan^(2)theta+1)+2secthetatantheta)=(tan^(2)theta+tan^(2)theta+2secthetatantheta)/(sec^(2)theta+sec^(2)theta+2secthetatantheta)`
`=(2tan^(2)theta+2secthetatantheta)/(2sec^(2)theta+2secthetatantheta)=(2tantheta(tantheta+sectheta))/(2sectheta(sectheta+tantheta))=(tantheta)/(sectheta)=(sintheta)/(costheta)=(costheta)/(1)`
`=sintheta=R.H.S.`
Alternative Method : we have `sectheta+tantheta=p`
`rArr(1)/(costheta)+(sintheta)/(costheta)=(p)/(1)rArr(1+sintheta)/(costheta)=(p)/(1)`
Squaring both sides, we get
`((1+sin theta)^(2))/(cos^(2)theta)=(p^(2))/(1)`
`rArr((1+sin theta)^(2))/(1-sin^(2)theta)=(p^(2))/(1)` (using indentity `sin^(2)theta+cos^(2)theta=1`)
`rArr((1+sintheta)^(2))/((1+sintheta)(1-sintheta))=(p^(2))/(1)rArr(1+sintheta)/(1=sintheta)=(p^(2))/(1)`
Applying componedo and dividendo ,we get
`(2)/(2sintheta)=(p^(2)+1)/(p^(2)-1)`
`rArr(2)/(sintheta)=(p^(2)+1)/(p^(2)-1)rArrsintheta=(p^(2)-1)/(p^(2)+1)`