माना कि a, b, x और y इस प्रकार की वास्तविक सँख्यायें (real numbers) हैं कि a-b = 1 और `y ne 0` हैं। यदि सम्मिश्र सँख्या (complex number) z = x + iy , Im `((az+b)/(z +1)) = y` को संतुष्ट करती है, तब निम्न में से कौन सा(से) x का(के) सम्भावित मान है(हैं)?
(i) ` - 1 + sqrt(1 - y^2)` (ii) `1 - sqrt(1 +y^2)` (iii) `1+ sqrt(1+y^2)` (iv) `-1-sqrt(1-y^2)`

Options

A. `1-sqrt(1+y^(2))`
B. `-1-sqrt(1-y^(2))`
C. `1+sqrt(1+y^(2))`
D. `-1+sqrt(1-y^(2))`

Answer

B, D

Explanation

`(az+b)/(z+1)=(ax+b+aiy)/((x+1)+iy)`
`=((ax+b+aiy) ((x+1)-iy))/((x+1)^(2)+y^(2))`
`therefore lm ((az+b)/(z+1))=(-(ax+b)y+ay(x+1))/((x+1)^(2)+y^(2))`
`rArr ((a-b)y)/((x+1)^(2)+y^(2))=y`
a-b=1
`(x+1)^(2)+y^(2)=1`
`x=-1 pm sqrt(1-y^(2))`