मान `f : R to R` इस प्रकार है, कि `f(1)=3` और `f'(1)=6`, तब `lim_(x to 0)((f(1+x))/(f(1)))^(1//x)` बराबर है

Options

A. 1
B. `e^(1//2)`
C. `e^(2)`
D. `e^(3)`

Answer

C

Explanation

`lim_(x to 0)((f(1+x))/(f(1)))^(1//x)`

`((f(1))/(f(1)))^infty` `= 1^infty` रूप की सीमा

`:.` `lim_(x to 0) f(x)^g(x)`

`lim_(x to 0) f (x)=1`

`lim_(x to 0) g(x)=infty`

` e^(lim_(x-> 0) )[(f(x)-1).g(x)]`

दिया गया है-

`f(x)=f(1+x)/f(1)`
तथा `g(x)=1/x`

अतः

`e^(lim_(x-> 0)``[(f(1+x)/f(1))-1]``.``1/x`

`L.C.M.` लेने पर

`e^(lim_(x-> 0)``[(f(1+x)-f(1))/f(1)]``.``1/x`

`e^(lim_(x-> 0)``1/f(1)[(f(1+x)-f(1))/x]`

`:.``f(x)=f(1)`

`:.f'(1)=``(f(1+x)-f(1))/x`

`e^(lim_(x-> 0)``1/f(1).f'(1)`

`=``e^(6/3)` [ दिया हुआ है ]

`=e^2`