परवलय `y=x^(2)` से बिन्दु (0,c), जहाँ `0 le c le 5` की निम्नतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer

`sqrt(c+1/4), 1/2 le c le 5`

Explanation

माना की बिंदु `Q(x,x^(2))` परवलय पर वह बिंदु है, जिसकी (0,c) से दुरी न्यूनतम है

`rArr PQ^(2)=x^(2)+(x^(2)-c)^(2)`
माना `f(x)=x^(2)+(x^(2)-c)^(2)...........(i)`
`rArr f.(x)=2x+2(x^(2)-c)2x`
`=2x {1+2x^(2)-2c}=4x{x^(2)-c+1/2}`
`=4x{x-sqrt(c-1/2)} {x+sqrt(c-1/2)}," जहाँ "c gt 1/2`
न्यूनतम के लिए रखेंगे `4x(x^(2)-c+1/2)=0`
`rArr x=0, x= pm sqrt(c-1/2)`
अब `f..(x)=4 [x^(2)-c+1/2]+4x(2x)`
`x=pm sqrt(c-1/2)" पर "`
`f..(x) ge 0`
f(x) न्यूनतम है
अर्थार्त f(x) का न्यूनतम मान =|PQ|
`=sqrt(( sqrt(c-1/2))^(2)+((sqrt(c-1/2))-c)^(2))`
`=sqrt(c-1/2+(c-1/2-c)^(2))`
`=sqrt(c-1/4), 1/2 le c le S`