परवलय `y^(2)=4x` के शीर्ष O से दो जीवायें OP और OQ खींची जाती हैं, जो एक-दूसरे से समकोण बनाती हैं। दिखाइए कि P की सभी स्थितियों के लिए PQ, परवलय के अक्ष को एक नियत बिन्दु पर काटता है। PQ के मध्य-बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।

Answer

`{2 (m^(2)+1/m^(2)), 2(1/m-m)}`

Explanation

माना जीवा OP का समीकरण y=mx है
तो जीवा OQ का समीकरण `y=-1/mx" होगा। "`

y=mx और `y^(2)=4x` का प्रतिछेद बिंदु `P(4/m^(2),4/m)" है"`
`y=-1/m x" और "y^(2)=4x` का प्रतिछेद बिंदु `Q(4m^(2),-4m)` है PQ का समीकरण
`y=4m =(4/m+4m)/(4/m^(2)-4m^(2)) (x-4m^(2))`
`rArr y+4m =(m)/(1-m^(2)) (x-4m^(2))`
`rArr (1-m^(2))y+4m-4m^(3)=mx-4m^(3)`
`rArr mx-(1-m^(2)) y-4m=0`
यह रेखा x-अक्ष से मिलती है, जहाँ y=0
अर्थार्त `x=4 rArr OL=4`, जो एक अचर है, क्योकि यह से स्वतंत्र है
पुनः माना (h,k) PQ का मध्य बिंदु है तो
`h=(4m^(2)+4/m^(2))/(2)" और "k=(4/m-4m)/(2)`
`rArr h=2 (m^(2)+1/m)" और "k=2(1/m-m)`
`rArr h=2 [(m-1/m))^(2)+2]" और "k=2 (1/m-m)`
m का विलोपन करने पर, `2h=k^(2)+8`
`y^(2)=2(x-4)`, बिन्दुपथ का अभीष्ट समीकरण है