दिखाइए कि परवलय `y^(2)=4ax` की, प्रवणता 2 वाली जीवा को आन्तरिक रूप से 1:2 के अनुपात में बाँटने वाले बिन्दु का बिन्दुपथ एक परवलय है। इस परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए।

Answer

`(2/9,8/9)`

Explanation

माना `A(t_(1)^(2), 2t_(1))" और "B(t_(2)^(2),2t_(2))" परवलय "y^(2)=4x` की प्रवणताह वाली जीवा के अनंत बिंदु है

AB की प्रवणता `=(2t_(2)-2t_(1))/(t_(2)^(2)-t_(1)^(2))`
`=2(t_(2)-t_(1))/((t_(2)-t_(1))(t_(2)+t_(1))=(2)/(t_(2)+t_(1))`
परन्तु m=2 (दिया है)
`rArr 2=(2)/(t_(2)+t_(1))`
`rArr t_(1)+t_(2)=1 ..........(i)`
माना P(h,k), AB पर कोई बिंदु है जो AB को 1:2 के अनुपात में अंत: विभाजित करता है तब
`h=(2t_(1)^(2)+t_(2)^(2))/(2+1)" और "k=(2(2t_(1))+2t_(2))/(2+1)`
`rArr 3h=2h_(1)^(2)+t_(2)^(2) ....(i)`
तथा `3k=4t_(1)=2t_(2) ....(iii)`
समी (i) से `t_(1)` का मान समी (iii) में रखने पर, `3k=4 (1-t_(2))+2t_(2)`
`rArr 3k=4-2t_(2) rArr 2t_(2)=4-3k`
`rArr t_(2)=2-(3k)/(2) ........(iv)`
`t_(1)=1-t_(2)` को समी (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
`3h=2 (1-t_(2))^(2)+t_(2)^(2)`
`rArr 3h=2(1-2t_(2)+t_(2)^(2))+t_(2)^(2)`
`rArr 3h=3t_(2)^(2)-4t_(2)+2`
`rArr 3hg=3 (t_(2)^(2)-4/3t_(2)+2/3)`
`rArr 3h=3 [(t_(2)-2/3)^(2)+2/3-4/9)]`
`rArr 3h=3 (t_(2)-2/3)^(2)+2/3`
`rArr 3h-2/3=3 (t_(2)-2/3)^(2)`
`rArr 3(h-2/9) =3[2-(3k)/(2)-2/3]^(2)`
`rArr 3(h-2/9) =3[4/3-(3k)/(2)]^(2)`
`rArr (h-2/9)=(4/3-(3k)/(2))^(2)`
`rArr (h-2/9) =9/4 (k-8/9)^(2)`
`rArr (k-8/9)^(2)=4/9 (h-2/9)`
अंत: अभीष्ट बिन्दुपथ `(y-8/9)^(2)=4/9 (x-2/9)`
यह एक परवलय निरूपित करता है जिसका शीर्ष `(2/9,8/9)" है"`