वृत्त `x^(2)+y^(2)=2a^(2)` तथा परवलय `y^(2)=8ax` की दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण है

Answer

`(15e^(2))/(4)`

Explanation

`y^(2)=4ax` की किसी स्पर्शी का समीकरण `y=mx=a/m" है"`

यह रेखा वृत्त `x^(2)+y^(2)=a^(2)/2` को स्पर्शी करेगी, यदि
`(|0+0-a/m |)/sqrt(1+m^(2))=a/sqrt2`
`(a/m)^(2)=a^(2)/2 (m^(2)+1)`
`rArr 1/m^(2)=1/2 (m^(2)+1)`
`rArr 2=m^(4)+m^(2)`
`rArr m^(4)+m^(2)-2=0`
`rArr (m^(2)-1) (m^(2)+2) =0`
`rArr m^(2)-1=0, m^(2)=-2" (जोकि असंभव है)"`
`rArr m= pm1`
अंत: दो उभयनिष्ट स्पर्शी
y= x+a और y=-x-a है
ये दोनों A(-a,0) पर प्रतिछेद करेगी
वृत्त `x^(2)+y^(2)=a^(2)/2` के लिए A(-a,0) की स्पर्श जीवा
`(-a)x+0.y=a^(2)/2 rArr x=-a/2 [T=0]`
और परवलय `y^(2)=4ax` के लिए A(-a,0) की स्पर्श जीवा
0.y =2a (x-a) `rArr x=a`
पुनः की लम्बाई =2BK
`=2 sqrt(OB^(2)-OK^(2))`
`=2 sqrt(a^(2)/2-a^(2)/4)=2 sqrt(a^(2)/4)=a`
और हम जानते है की DE परवलय का नाभिलम्ब है अंत: इसी लम्बाई 4a है
अंत: समलम्ब BCDE का क्षेत्रफल `=1/2 (BC+DE) (KL)`
`=1/2 (a+4a) ((3a)/(2))=(15a^(2))/(4)`