बिन्दु P से परवलय `y^(2)=4ax` पर खींचे गए स्पर्शी युग्म के बीच `45^@` का कोण बनता है। दिखाइए कि बिन्दु P का बिन्दुपथ अतिपरवलय है।

Answer

`alpha=2`

Explanation

माना `P(alpha,beta)` बिन्दुपथ पर कोई बिंदु है। बिंदु `P(alpha,beta)` से परवलय `y^(2)=4ax` पर खींचे गए स्पर्शी युग्म का समीकरण
`[betay-2a(x+alpha)]^(2)=(beta^(2)-4alpha) (y^(2)-4ax) [therefore T^(2)=S_(1)S]`
`rArr beta^(2) y^(2)+4a^(2) (x^(2)+alpha^(2)+2x.alpha)`
`rArr beta^(2)y^(2)-4beta^(2) a x-4a alpha y^(2)+16a^(2)alpha x+4a betay (x+alpha)`
`rArr beta^(2)y^(2)+4alpha^(2)x^(2)+4a^(2)alpha^(2)=beta^(2)y^(2)-4beta^(2)ax-4a alpha y^(2)+8a^(2)alpha x- 4a beta xy-4a betaxy .......(i)`
`x^(2)" का गुणांक ="4a^(2)`
xy का गुणांक `=-4a beta`
`y^2" का गुणांक="4a alpha`
समी (i) से निरूपित रेखाओ के बिच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है
`tan 45^(@)=(2 sqrt(h^(2)-ab))/(a+b)`
`rArr 1=(2 sqrt(h^(2)-ab))/(a+b) rArr a+b=2 sqrt(h^(2)-ab)`
` rArr (a+b)^(2)=4(h^(2)-ab)`
`rArr (4a^(2)+4a alpha)^(2)=4[ 4alpha^(2) beta^(2)-(4a^(2)) (4a alpha) ]`
`rArr 16a^(2) (a+alpha^(2))=4.4a^(2) [beta^(2)-4a alpha]`
`rArr alpha^(2)+6a alpha+a^(2)-beta^(2)=0`
`rArr (alpha+3a)^(2)-beta^(2)=8a^(2)`
अंत: बिन्दुपथ का अभीष्ट समीकरण `(x+3a)^(2)-y^(2)=8a^(2)` है जो एक अतिपरवलय है