माना `C_1" व "C_2` क्रमश: परवलय `x^(2)=y-1" और "y^(2)=x-1` हैं। माना `P,C_1" पर तथा "Q,C_2` पर कोई बिन्दु है। माना P और Q, रेखा y= x के सापेक्ष क्रमश: P और Q के प्रतिबिम्ब हैं। सिद्ध कीजिए कि `P_(1), C_(2),` पर तथा `Q_(1),C_(1)` पर स्थित हैं और `PQ ge" min" {PP_(1), QQ_(1)}` अत: या अन्यथा `C_(1)` और `C_(2)` पर क्रमश: बिन्दु `P_(0)" और "Q_(0)` इस प्रकार जात कीजिए, कि सभी बिंदु युग्म `(P,Q)` के लिए `P_(0)Q_(0) le PQ" जहाँ "P,C_1` पर और `Q,C_(2)` पर है।

Answer

`(x+1) (y-1)^(2)+4=0`

Explanation

माना P के निर्देशांक `(t,t^(2)+1)` है y=x में P का प्रतिबिम्ब `P_(1) (t_^(2)+1,1)` है, जो स्पस्ट रूप से `y^(2)=x-1` पर स्थित है

इस प्रकार, माना Q के निर्देशांक `(s^(2)+1,x)` है
Q का y=x में प्रतिबिम्ब `Q_(1) (s, s^(2)+1)" है जो "x^(2)=y-1` पर स्थित है
अब `(PQ_(1))^(2)=(t-s)^(2)+(t^(2)-s^(2))^(2)=(P_(1)Q)^(2)`
`rArr PQ_(1)=P_(1)Q`
साथ ही `P P_(1) || Q Q_(1) (therefore "दोनों y=x के लंबवत है")`
अंत: `PP_(1) QQ_(1)` एक समबाहु है
साथ ही `P, PQ_(1)` पर और `Q,P_(1)Q` पर स्थित है तथा
`PQ ge" min "{PP_(1),QQ_(1)}`
माना `"min "{PP_(1),QQ_(1)}=PP_(1)`
`therefore PQ^(2) ge PP_(1)^(2)=(t^(2)+1-t)^(2)+(t^(2)+1-t^(2))`
`=2(t^(2)+1-t)^(2)=f(t)`
`rArr f.(t)=4 (t^(2)+1-t) (2t-1)`
`=r[(t-1/2)^(2)+3/4] [2t-1]`
अब `f.(t)=0 rArr t=1/2`
साथ ही `f..(t) lt 0, t lt 1//" के लिए "f..(t) gt0, t gt 1//2` और के लिए।
अंत: f(t) न्यूनतम होगा, जब t=1/2
`t=1/2` के लिए बिंदु `P_(0) (1//2, 5//4)C_(1)` पर है और `P_(1) ("जिसे हम "Q_(0)" ले सकते है") (5//4,1//2) C_(2)` पर स्थित है। सभी (P,Q) के लिए `P_(0)Q_(0) le PQ` जहाँ `P,C_(1)` पर और `Q,C_(2)` पर स्थित है