बिंदु P से परवलय `y^(2)=4x" पर "m_(1),m_(2), m_(3)` प्रवणता के अभिलम्ब खींचे जाते है। यदि P का बिन्दुपथ इस प्रकार है, की `m_(1)m_(2)=alpha` तथा यह परवलय का ही एक भाग है तो `alpha` ज्ञात कीजिये|

Explanation

हम जानते है की `y^(2)=4ax` पर अभिलम्ब का समीकरण `y=mx-2am-am^(3)` है|
`y^(2)=4ax` पर अभिलम्ब का समीकरण y=mx+2m- `m^(3)` है|
माना यह बिंदु (h,k) से होकर जाता है
`k=mh-2m-m^(3)`
`rArr m^(3)+m(2-h)+k=0 .............(i)`
यहाँ `m_(1)+m_(2)+m_(3)=0`
तथा `m_(1)m_(2)+m_(2)m_(3)+m_(3)m_(1)=2-h`
`m_(1)m_(2)m_(3)=-k`
दिया है `m_(1)m_(2)=alpha`
`m_(3)=-k/alpha`, को समी (i) को संतुष्ट करना चाहिए।
`-k^(3)/alpha^(3)-k/alpha (2-h)+k=0 rArr k^(2)=alpha^(2)h-2alpha^(2)+alpha^(3)`
`y^(2)=4x` से तुलना करने पर, `alpha^(2)=4" और "-2alpha^(2)+alpha^(3)=0`
`rArr alpha=2`