एक आदर्श सरल लोलक की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है सरल लोलक की भिन्न अवस्थाओं में ऊर्जा की गणना कर इस कथन की सिद्ध कीजिये।

Explanation

मान ले की द्रव्यमान m एवं लम्बाई l का एक आदर्श सरल लोलक अपनी उर्ध्व स्थिति से अधिकतम `theta_(0)` कोण बनाते हुए माध्य स्थिति (OB) के इर्द गिर्द दोलन कर रहा है। किसी मध्यवर्ती स्थिति पर यह माध्य स्थिति (OC) के साथ `theta ` कोण बना रहा है ।
निर्देश स्तर निम्नतम बिंदु C पर तथा उच्चतम स्तर बिंदु A पर है , जैसा की चित्र दर्शाया गया है ।
यहाँ `h_(0) = l - l cos theta_(0)`
या `h_(0) = l(l-costheta_(0))`
तथा `h = l(1-cos theta ) `
सरल लोलक बिंदु A की स्थिति से छोड़ा जाता है , जहां उसका प्रारंभिक वेग u = 0 होता है।
` :. ` चरम स्थिति बिंदु A पर -
गतिज ऊर्जा
`E_(K_(A)) = 1/2 "mu"^(2) = 1/2 m(0)^(2) = 0 `
स्थितिज ऊर्जा
`E_(P_(A)) = mg ( 1- cos theta _(0))`
अतः कुल यांत्रिक ऊर्जा
`E_(A) = E_(K_(A)) + E_(P_(A))`
या `E_(A) = E_(K_(A)) + E_(P_(A))`
या `E_(A) = 0 + mg l (1 - cos theta _(0))`
या `E_(A) = mgl (1 - cos theta )" " ` (1)

किसी मध्यवर्ती स्थिति के बिंदु B पर -
बिंदु पर पहुंचते - पहुंचते लोलक द्वारा अर्जित वेग हो जाता है तथा निर्देश स्तर से ऊँचाई हो जाती है। तब गति के तृतीय समीकरण से ,
`V_(B)^(2) = u^(2) + 2g(h_(0)-h)`
या `V_(B)^(2) = 2gl ( cos theta - cos theta _(0)) = l (1 - cos theta ) ] ` या
`V_(B)^(2) = 2gl ( cos theta - cos theta _(0))`
` :. ` गतिज ऊर्जा
`E_(K_(B)) = 1/2 m xx 2gl ( cos theta - cos theta _(0))`
या `E _(K_(B)) = mgl ( cos theta = cos theta _(0))`
तथा स्थितिज ऊर्जा
`E_(B) = E_(K_(B)) + E_(P_(B))`
या `E_(B) = mgl ( cos theta - cos theta _(0)) + mgl (1- cos theta) `
` :. E_(B) = mgl (1-cos theta_(0)) ...(2) `
माध्य स्थिति के निर्देश स्तर निम्नतम बिंदु C पर
लोलक C जब बिन्दु पर पहुँचता है , तब उसका वेग `v_(B)` हो जाता है तथा निर्देश स्तर से ऊँचाई शून्य हो जाती है ।
` :. ` गति के तृतीय समीकरण से ,
`v_(c)^(2) = u^(2) + 2gh_(0)`
`v_(c)^(2) = (0)^(2) + 2gl (1- cos theta_(0))`
अतः गतिज ऊर्जा
`E_(K_(C)) = 1/2 mv_(c)^(2)`
या `E_(K_(C)) = 1/2 m xx 2gl (1 - cos theta_(0))`
तथा स्थितिज ऊर्जा `E_(P_(C))= (mg) (0)`
` :. E_(P_(C)) = 0 `
` :. ` कुल यांत्रिक ऊर्जा `E_(C) = E_(K_(C)) + E_(P_(C))`
या `E_(C) = mgl ( 1- cos theta_(0))+ 0 `
या `E_(C) = mgl (1 - cos theta _(0))` ...(3)
समीकरण (1) ,(2),(3) की तुलना से ,
`E_(A) = E_(B) = E_(C)= mgl ( 1- cos theta_(0))` = नियतांक ..(4)
अतः एक आदर्श सरल लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा के प्रत्येक स्थिति में संरक्षित बनी रहती है , जब माध्य स्थिति के इर्द गिर्द दोलन करता है ।