Simply `|{:(,a,b,c),(,a^(2),b^(2),c^(2)),(,bc,ca,ab):}|`

Explanation

Given determinant is equal to
`=(1)/(abc)|{:(,a^(2),b^(2),c^(2)),(,a^(3),b^(3),c^(3)),(,abc,abc,abc):}|=|{:(,a^(2),b^(2),c^(2)),(,a^(3),b^(3),c^(3)),(,1,1,1):}|`
Apply `C_(1)toC_(1)-C_(2), C_(2)toC_(2)-C_(3)`
`|{:(,a^(2)-b^(2),b^(2)-c^(2),c^(2)),(,a^(3)-b^(3),b^(3)-c^(3),c^(3)),(,0,0,1):}|`
`(a-b)(b-c) [ab^(2)+abc+ac^(2)+b^(3)+b^(2)C+bc^(2)-a^(2)b=a^(2)c-ab^(2)-abc-b^(3)-b^(2)c`
`=(a-b)(b-c)[c(ab+bc+ca)-a(ab+bc+ca)]`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)`