किसी एकसमान तार की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A है | इससे बनाए गए एक लोलक का आवर्तकाल T है | इस लोलक के गोलक से एक अतिरिक्त M द्रव्यमान जोड़ देने से लोलक का आवर्तकाल परिवर्तित होकर `T_(M)` हो जाता है | यदि इस तार के पदार्थ का यंग गुणांक Y हो, तो `(1)/(Y)` का मान होगा (g = गरुत्वीय त्वरण)

Options

A. `[1-((T_(M))/(T))^(2)](A)/(Mg)`
B. `[1-((T)/(T_(M)))^(2)](A)/(Mg)`
C. `[((T_(M))/(T))^(2)-1](A)/(Mg)`
D. `[((T_(M))/(T))^(2)-1](Mg)/(A)`

Answer

C

Explanation

किसी सरल लोलक का आवर्तकाल
`T = 2pi sqrt((l)/(g)) " "` ....(i)
अतिरिक्त द्रव्यमान M रखने पर, तार की लम्बाई में वृद्धि होगी | माना तार की लम्बाई में वृद्धि `Delta l` है |
नया आवर्तकाल,
`T_(M)=2pi sqrt((l+Delta l)/(g)) " "` ....(ii)
तार के पदार्थ का यंग गुणांक,
`Y=(F//A)/(Delta l // l)=(F.l)/(Delta l.A)`
`rArr Y.Delta l. A = F.l`
या `Delta l = (F.l)/(AY)`
`because F = Mg`
`therefore Delta l = (Mgl)/(AY)`
आवर्तकाल
`T_(M)=2pi sqrt((l+Mgl // AY)/(g)) " "` .....(iii)
समी (ii) को समी (i) से विभाजित करने पर,
`(T_(M))/(T)=(2pi sqrt(l+(Mgl//A.Y)/(g)))/(2pi sqrt(l//g))`
`rArr ((T_(M))/(T))^(2)=(l+Mg//AY)/(l)=1+(Mg)/(AY)`
`rArr (1)/(Y)=(A)/(Mg)[((T_(M))/(T))^(2)-1]`