एक सरल रेखा में गतिशील किसी कण का मंदन उसके विस्थापन के समानुपाती है। किसी विस्थापन x के लिए उसकी गतिज ऊर्जा में क्षय समानुपाती है

Options

A. `(1)/(x)`
B. x
C. `x^(2)`
D. `e^(x)`

Answer

C

Explanation

दिया है, एक सरल रेखा में गतिशील किसी कण एक मंदन (-a) उसके विरस्थापन (x) के समानुपाती है। अर्थात `-apropximpliesa=-kx`
यहाँ k समानुपाती स्थिरांक है।
अतः `a=(dv)/(dt)=(dv)/(dx).(dx)/(dt)=-kx`
इसलिए `v.(dv)/(dx)=-kx" "......(i)`
माना 0 से x तक विस्थापन परिवर्तित होने पर वेग में परिवर्तन `v_(0)` से v तक होता है।
सभी (i) का समाकलन करने पर,
`impliesint_(v_(0))^(v)vdv=-kint_(0)^(x)xdx`
`implies[(v^(2))/(2)]_(v_(0))^(v)=-(kx^(2))/(2)`
`implies` या `(m(v^(2)-v_(0)^(2)))/(2)=-(mkx^(2))/(2)`
`[:.DeltaKE=(1)/(2)m(v^(2)-v_(0)^(2))]`
`impliesDeltaKEpropx^(2)`
अतः कण की गतिज ऊर्जा में क्षय `x^(2)` के समानुपाती है।