कोई व्यक्ति एक घूमते हुए प्लेटफॉर्म पर खड़ा है | उसने अपनी दोनों बाहें फैला रखी हैं और उनमें से प्रत्येक में 5 kg भार पकड़ रखा है | प्लेटफॉर्म की कोणीय चाल 30 rev/min है | फिर वह व्यक्ति बाँहों को अपने शरीर के पास ले आता है जिससे घूर्णन अक्ष से प्रत्येक भार की दूरी 90 cm से बढ़कर 20 cm होजाती है | प्लेटफॉर्म रहित व्यक्ति के जड़त्व आघूर्ण का मान 7.6 kg `m^(2)` ले सकते हैं
(a) उसकानया कोणीय वेग क्या है ? (घर्षण की उपेक्षा कीजिए)
(b) क्या इस प्रक्रिया में गतिज ऊर्जा संरक्षित होती है? यदि नहीं तो इसमें परिवर्तन का स्रोत क्या है ?

Explanation

दिया गया है -
प्रत्येक हाथ का द्रव्यमान = 5 kg
`R_(1) = 90 cm = 0.9 m`
`R_(2) = 20 cm = 0.20 m`
`I_(0)` = व्यक्ति तथा प्लेटफॉर्म का जड़त्व आघूर्ण
`= 7.6 kg m^(2)`
यदि `R_(1)` तथा `R_(2)` स्थितियों में जड़त्व आघूर्ण क्रमश : `I_(1)` तथा `I_(2)` है |
तब सूत्र `I = MR^(2)` संबंध का उपयोग करने पर
`I_(1) = 2 M xx R_(1)^(2)`
`= 2 xx 5 xx (0.9)^(2) = 8.1 kg m^(2)`
`I_(2)^(1) = 2 M xx R_(2)^(2)`
`= 2 xx 5 xx (0.2)^(2)`
`= 0.4 kg m^(2)`
यदि निकाय के जड़त्व आघूर्ण अर्थात
(व्यक्ति + भार + प्लेटफॉर्म ) के `R_(1)` तथा `R_(2)` दूरी क्रमश : `I_(1)` तथा `I_(2)` है तब
`I_(1) = I_(1)^(1) + I_(0)`
`= 8.1 + 7.6 = 15.7 kg m^(2)`
`I_(2) = I_(2)^(1) + I_(0)`
`0.4 + 7.6 = 8.0 kg m^(2)`
प्लेटफॉर्म कि कोणीय चाल = 30 rev/min
`(30)/(30) ` rev/sec `= (1)/(2)` rev/sec
`:.` आवृति `f = (1)/(2)` rev/sec
`:.` कोणीय चाल `omega_(1) = 2 pi f`
`= 2 pi xx (1)/(2) = pi` redian/sec
माना `R_(2)` स्थिति में नई कोणीय चाल = `omega_(2)` है
`:.` संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार
`I_(1) omega_(1) = I_(2) omega_(2)`
ya `15.7 xx pi = 8 xx omega^(2)`
या `omega_(2) = (15.7 pi)/(8) = 1.9625 pi` radian/sec
`:.` कोणीय आवृति `f_(2) = (omega_(2))/(2 pi) = (1.9625 pi)/(2 pi)`
`= (1.9625)/(2)` rev/sec
` = (1.9625)/(2) xx 60` rev/min
`= 30 xx 1.9625 = 58.88` rev/min
= 58.88 rmp
(b) नहीं इस प्रक्रिया में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है जैसे - जैसे जड़त्व आघूर्ण का मान कम होता है , तभी घूर्णन गतिज ऊर्जा का मान बढ़ता जाता है | यह परिवर्तन व्यक्ति अपनी बाँहों को अपने शरीर के पास लाने में किये गए कार्य के कारण होता है |
जैसे नीचे स्पष्ट किया गया है i -
`I_(1) omega_(1) = I_(2) omega_(2)`
`:. I_(1)^(2) omega_(1)^(2) = I_(2)^(2) omega_(2)^(2)`
या `(1)/(2) I_(1) (I_(1) omega_(1)^(2)) = ((1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2)) I_(2)`
या `(I_(1))/(I_(2)) = ((1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2))/((1)/(2) I_(1) omega_(1)^(2))`
यहाँ पर `I_(1) > I_(2)` या `(I_(1))/(I_(2)) > I`
`:. ((1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2))/((1)/(2) I_(1) omega_(1)^(2)) > 1`
अतः `(1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2) > (1)/(2) I_(1) omega_(1)^(2)`
इस प्रकार घूर्णन गतिज ऊर्जा I के कम होने से बढ़ जाती है अर्थात इस प्रक्रिया में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है | गतिज ऊर्जा में यह परिवर्तन व्यक्ति द्वारा हाथों को समीप में किये गए कार्य के कारण है |