दो चक्रिकाएँ जिनके अपने - अपने अक्षों के परित जड़त्व आघूर्ण `I_(1)` tatha `I_(2)` हैं और जो `oemga_(1)` तथा `omega_(2)` कोणीय चालों से घूर्णन कर रही है को उनके घूर्णन अक्ष संपत्ति करके आमने - सामने लाया जाता है | (a) इस दो चक्रिका निकाय कि कोणीय चाल क्या है ? (b) यह दर्शाइए कि इस संयोजित निकाय कि गतिज ऊर्जा दोनों चक्रिकाओं कि आरम्भिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है | ऊर्जा में हुई इस हानि कि आप कैसे व्याख्या करेंगे ? `omega_(1) != omega_(2)` लीजिये |

Explanation

दो चक्रिकाओं का जड़त्व आघूर्ण क्रमश : `I_(1)` और `I_(2)` है और उनकी कोणीय चाल क्रमश : `omega_(1)` तथा `omega_(2)` है | जब इन्हें सम्पर्क में लाया जाता है तो चक्रिकाओं के निकाय का जड़त्व आघूर्ण `I_(1)+ I_(2)` होगा |
मान संयुक्त निकाय कि कोणीय चाल `= omega` है
(a) `:.` दोनों चक्रिकाओं कि कुल आरम्भिक कोणीय संवेग
`L_(1) = I_(1) omega_(1) + I_(2) omega_(2)`
संयुक्त निकाय का कुल अंतिम कोणीय संवेग
`L_(2) = (I_(1) + I_(2)) omega`
कोणीय संवेग संरक्षण के नियमानुसार
`L_(2) = L_(1)`
या `(I_(1) + I_(2)) omega = I_(1) omega_1) + I_(2) omega_(2)`
या `omega = (I_(1) omega_(1) + I_(2) omega_(2))/(I_(1) + I_(2))`
(b) दोनों चक्रिकाओं कि आरम्भिक गतिज ऊर्जा
`E_(1) = (1)/(2) I_(1) omega_(1)^(2) + (1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2)`
संयुक्त निकाय कि अंतिम गतिज ऊर्जा
`E_(2) = (1)/(2) = (I_(1) + I_(2)) omega^(2)`
समीकरण (1) से `omega` का मान रखने पर
`E_(2) = (1)/(2) (I_(1) + I_(2)) xx ((I_(1) omega_(1) + I_(2) omega_(2))/(I_(1) + I_(2)))^(2)`
`E_(2) = (1)/(2) ((I_(1) omega_(1) + I_(2) omega_(2)))/((I_(1) + I_(2)))`
अब `E_(1) - E_(2) = (1)/(2) I_(1) omega_(1)^(2) + (1)/(2) I_(2) omega_(2)^(2) - ((I_(2) omega_(1) + I_(2) omega_(2))^(2))/(2(I_(1) + I_(2)))`
`(1)/(2) (I_(1) omega_(1)^(2)) xx 2 (I_(1) + I_(2)) + (1)/(2) (I_(2) omega_(2)^(2)) xx`
`E_(1) - E_(2) = (2(I_(1) + I_(2)) - (I_(1) omega_(1) + I_(2) omega_(2)))/(2(I_(1) + I_(2)))`
`I_(1)^(2) omega_(1)^(2) + I_(1) I_(2) omega_(1)^(2) + I_(1) I_(2) omega_(2)^2) + I_(2)^(2) omega_(2)^(2)`
`= (I_(1)^(2) omega_(1)^(2) - 2 I_(1) omega_(1) xx I_(2) omega_(2) - I_(2)^(2) omega_(2)^(2))/(2(I_(1) + I_(2)))`
`= (I_(1) I_(2) omega_(1)^(2) + I_(1) I_(2) omega_(2)^(2) - 2I_(1) I_(2) omega_(1) omega_(2))/(2(I_(1) + i_(2)))`
`= (I_(1) I_(2))/(2(I_(1) + I_(2))) (omega_(1)^(2) + omega_(2)^(2) - 2 omega_(1) omega_(2))`
`= (I_(1) I_(2))/(2(I_(1) + I_(2))) (omega_(1) - omega_(2))^(2)`
जो की एक धनात्मक संख्या है | इसलिए > 0 होगा |
`:. E_(1) - E_(2) > 0`
या `E_(1) > E_(2)` या `E_(2) < E_(1)`
अर्थात संयुक्त निकाय की कुल ऊर्जा दोनों वस्तुओं की आरम्भिक ऊर्जा के योग से कम है |
अतः दोनों चक्रिकाओं को मिलाने से गतिज ऊर्जा की हानि होती है क्योंकि दोनों चिकरिकाओं की स्थान के बीच में धर्ष बल होता है | दोनों चक्रिकाओं को शामिल करने पर ये एक साझी कोणीय चाल उतपन्न करते हैं | यह प्रकार आंतरिक मॉस है जिसके कारण कोणीय संवेग परिवर्तित नहीं होता है |