कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के परित गति में अलग अलग करके विचार करना |दर्शाइए की - -
(a) `p = vec(Pi) + m_(i) vec(V)`, जहाँ `P_(i)` (`m_(i)` द्रव्यमान वाले ) I - वे कण का संवेग है, और `vec(P_(i)) = m_(i) vec(v_(i))` | ध्यान दें कि `vec(v_(i))` द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष i - वेग कण का वेग है | द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए की `sum vec(P_(i)) = 0`
(b) `K = K' + 1//2 MV^(2)`
K कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा K' = निकाय की कुल गतिज ऊर्जा जबकि कणों की गतिज द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष ली जाये | `MV^(2)//2` सम्पूर्ण निकाय के (अर्थात निकाय के द्रव्यमान केंद्र के)
स्थानांतरण की ऊर्जा है | इस परिणाम का उपयोग पाठ्यपुस्तक के अनुछेद 7.14 में किया गया है |
(c ) `vec(L) = vec(L) = R xx M vec(V)`
जहाँ `vec(L) = sum vec(r_(i)) xx vec(P_(i))` द्रव्यमान के परित निकाय का कोणीय संवेग है जिसकी गणना में वेग द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष मापे गए हैं | याद कीजिए `vec(r_(i)) = vec(r_(i)) - vec(R )` शेष सभी चिह्न अध्याय में प्रयुक्त विभिन्न राशियों के मानक चिन्ह हैं | ध्यान दें की `vec(L)` द्रव्यमान केंद्र के परित निकाय का कोणीय संवेग एवं `M vec(R ) xx vec(V)` इसके द्रव्यमान केंद्र का कोणीय संवेग है |
(d) `(d vec(L))/(dt) = sum vec(r_(i)) xx (vec(dp))/(dt)`
यह भी दर्शाइए की `(d vec(L))/(dt) vec(tau_(ext))`
जहाँ `vec(tau_(ext))` द्रव्यमान केंद्र के परित निकाय पर लगने वाले सभी बाह्य बल आघूर्ण हैं |
[ संकेत द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा एवं न्यूटन के गति के तृतीय नियम का उपयोग कीजिए | यह मान लीजिए की किन्हीं दो कणों की बीच के आंतरिक बल उनको मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं |]

Explanation

(a) I गतिशील कोणों का निकाय लेने पर
`i^(th)` कण का द्रव्यमान `= m_(i)`
`i^(th)` कण का वेग `= vec(V_(i))`
`:. i^(th)` कण का संवेग `vec(P_(i)) = m_(i) vec(V_(i))`
द्रव्यमान केंद्र का वेग = `vec(V)`
`i^(th)` कण का कोण द्रव्यमान केंद्र के निकाय के सापेक्ष
`vec(V_(i)) = vec(V_(i)) - vec(V)`
दोनों तरफ `m_(i)` का गुना समीकरण (1) में करने पर
`m_(i) vec(V_(i)) = m_(i) vec(V_(i)) - m_(i) vec(V)`
`vec(P_(i)) = vec(P_(i)) vec(V)` जहाँ पर `vec(P_(i)) = m_(i) vec(V_(i))`
`= i^(th)` कण का संवेग द्रव्यमान केंद्र के निकाय के सापेक्ष
`:. vec(P_(i)) = vec(P_(i)) + m_(i) vec(V)`
हम जानते हैं -
`vec(P_(i)) = m_(i) vec(V_(i))`
सभी कोणों का संवेगों का योग द्रव्यमान केंद्र के निकाय के सापेक्ष करने पर
`underset(i)(sum) vec(P_(i)) = underset(i)(sum) m_(i) vec(V_(i)) = underset(i)(sum) m_(i) (d vec(r_(i)))/(dt)`
जहाँ `(vec(r_(i)))/(vec(V_(i))) = i` कोणों का स्थिति सदिश द्रव्यमान केंद्र ke सापेक्ष
`vec(V_(i)) = (d vec(r_(i)))/(dt)`
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार
`underset(i)(sum) m_(i) vec(r_(i)) = 0`
`:. underset(i)(sum) m_(i) (d vec(r_(i)))/(dt) = 0`
`underset(i)(sum) vec(P_(i)) = 0`
(b) किसी भी निकाय की गतिज ऊर्जा के दो अंग होते हैं |
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा `(K_(t))` तथा घूर्णिय गतिज ऊर्जा `(K^(1))` अर्थात द्रव्यमान केंद्र की गति की गतिज ऊर्जा `((1)/(2) mV^(2))` और कोणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र के प्रीत घूर्णिय ऊर्जा `K^(1)` होती है इस प्रकार निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
`K = (1)/(2) mV^(2) + (1)/(2) I omega^(2)`
`K= (1)/(2) mV^(2) + K^(1)`
या `K = K^(1) + (1)/(2) mV^(2)`
(C ) `i^(th)` कोणों का स्थिति सदिश मूल बिंदु के सापेक्ष `= vec(r_(i))`
`i^(th)` कोणों का स्थित सदिश द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष `= vec(r_(i))`
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश मूल बिंदु के सापेक्ष `= vec(R )`
दिया गया है -
`vec(r_(i)) = vec(r_(i)) - vec(R )`
`vec(r_(i)) = vec(r_(i)) + R`
प्रथम खंड (a) से हम जानते हैं -
`vec(P_(i)) = vec(P_(i)) + m_(i) vec(V)`
दोनों तरफ `vec(r_(i))` का सदिश गुणनफल करने पर
`underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx vec(P_(i)) = underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx vec(P_(i)) + underset(i)(sum) r_(i) xx m_(i) vec(V)`
` vec(L) = underset(i)(sum) ((vec(r_(i)) + vec(R )) xx vec(P_(i)) + underset(i)(sum) (vec(r_(i)) + vec(R )) xx m_(i) vec(V)`
`= underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx vec(P_(i)) + underset(i)(sum) vec(R ) xx vec(P) + underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx m_(i) vec(V) + underset(i)(sum) vec(R ) xx m_(i) vec(V )`
`= vec(L) + underset(i)(sum) vec(R ) xx vec(P_(i)) + underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx m_(i) vec(V) + underset(i)(sum) vec(R ) xx m_(1) vec(V)`
जहाँ पर `vec(R ) xx underset(i)(sum) vec(P_(i)) = 0` और
`underset(i)(sum) vec(r_(i)) xx M vec(V) = 0`
`underset(i)(sum) m_(i) = M`
`:. vec(L) = vec(L) + R xx M vec(V)`
(d) कोणों के एक निकाय को आकाश में लीजिए | उन कोणों पर एक बल आघूर्ण लग रहा है माना किसी कण के लिए x,y v z अक्ष की अनुदिश `vec(L)` सदिश के घटक क्रमश `L_(x), L_(y), L_(z)` हैं तथा माना इसके रेखिक संवेग के घटक `P_(x), P_(y)` तथा `P_(z)` हैं |
`:. L_(x) = Y P_(z) - Z P_(y)`
`L_(y) = ZP_(x) - XP_(z)`
`L_(z) = XP_(y) - YP_(x)`
`:. vec(L_(i)) hat(i) + L_(y) hat(j) + L_(z) hat(k)`
`= (YP_(z) - ZP_(y)) hat(i) (ZP_(x) - XP_(z)) hat(j) + (XP_(y) - YP_(x)) hat(j)`
`= vec(r_(i)) xx vec(P_(i))`
`:.` किसी कण के संवेग परिवर्तन की दर को
`(d vec(L_(i)))/(dt) = (d)/(dt) (vec(r_(i)) xx vec(P_(i)))`
`= vec(r_(i)) xx (dp_(i))/(dt) + (d vec(r_(i)) xx vec(P_(i)))/(dt)`
`= vec(r_(i)) xx (dp_(i))/(dt) + vec(V_(i)) xx vec(P_(i))`
`= vec(r_(i)) xx (d vec(P_(i)))/(dt) + 0` `:. vec(V_(i)) xx ve(P_(i)) = 0`
यदि निकाय का कुल कोणीय संवेग `vec(L)` है तब
`vec(L) = sum vec(L)`
`(vec(dL))/(dt) = sum (vec(dL_(i)))/(dt)`
`(vec(dL_(i)))/(dt) = sum (vec(r_(i)) xx (vec(dP_(i)))/(dt))`
हम यह जानते हैं की `tau_(ext)` निकाय पर कार्यरत कुल बाह्य बल आघूर्ण है
`vec(tau_(ext)) = sum (vec(r_(i)) xx (vec(dP_(i)))/(dt))`
`vec(tau_(ext)) = sum (vec(r_i)) xx vec(F_(i)^(ext)))`
`:.` बाह्य बल सदैव युग्म हैं तथा एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं |
समीकरण (1) तथा (2) से
`(vec(dL_(i)))/(dt) = vec(tau_(ext))`