मुद्र इस्पात के एक तार, जिसकी लम्बाई 1.0 m तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल `0.50 xx 10^(2) cm^(2)` है, को दो खम्बो के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिंदु से 100g का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिंदु पर अवनमन की गणना कीजिये।

Explanation

मध्य बिंदु पर बल लगने से मध्य बिंदु माना x मीटर नीचे आ जाता है जैसे चित्र में दर्शाया गया है।
`AC = CB = l = (1)/(2) = 0.5`
`m= 100g = 0.100kg`
`AD = BD = (l^(2) + x^(2))^((1)/(2))`
लम्बाई में वृद्धि `Delta l = AD + DB - AB`
`=2AD - AB :. DB = AD`
`=2 (l^(2) + x^(2))^((1)/(2)) -2l`
`=2[(l^(2) + x^(2))^((1)/(2)) -l]`
`=2[l (1 + (x^(2))/(l^(2)))^((1)/(2)) -l]`
`=2l (1 + (1)/(2). (x^(2))/(l^(2)) -1)`
द्विपद प्रमेय का प्रयोग `:.x lt lt l` करने पर
`=2l ((1)/(2) .(x^(2))/(l^(2))) = (x^(2))/(l)`
विकृति `=(Delta l)/(2l) = (x^(2))/(2l^(2))`
यदि तार में तनाव T है तब
`2T Cos theta = mg`
या `T = (mg)/(2 Cos theta)`
यहाँ पर `Cos theta = (x)/((l^(2) +x^(2))^((1)/(2))) = (x)/(l(1 + (x^(2))/(l^(2)))^((1)/(2)))`
`=(x)/(l(1 + (1)/(2). (x^(2))/(l^(2))))` द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर
यहाँ पर `x lt lt 1 :. (1)/(2) (x^(2))/(l^(2))` का मान शून्य के बराबर होगा।
`:. Cos theta = (x)/(l)` यहाँ पर `T = (mg)/(2 xx ((x)/(l))) = (mg l)/(2x)`
प्रतिबल `=(T)/(A) = (mgl)/(2Ax)`
`:. Y = ("प्रतिबल")/("विकृति") = (mgl//2Ax)/(x^(2)//2l^(2))`
`Y = (mgl^(3))/(Ax^(3))`
`:. x^(3) = (mgl^(3))/(AY)`
`x=l ((mg)/(AY))^((1)/(3))`
मान रखने पर-
`=0.5 ((0.1 xx 10)/(2 xx 10^(11) xx 0.5 xx 10^(-6))^((1)/(3)))`
`=1.074 xx 10^(-2)m`
=1.074cm
अत: मध्य बिंदु पर अवनमन का मान लगभग 1cm होगा।