एक कमरे की छत से लटके 5 मीटर लम्बे स्टील के तार से एक 10 सेमी। त्रिज्या व 25 किग्रा का ठोस पिंड लटकाया गया है। छत की ऊंचाई 5.21 मीटर है। जब पिंड को दोलन कराया जाता है तो ये फर्श को चुकार गुजरता है। यदि `Y =2 xx 10^(11)` न्यूटन/`"मी"^(2)`तथा तार की त्रिज्या 0.05 सेमी हो तो पिंड का निम्नतम बिंदु पर क्या वेग होगा ?

Explanation

अगतिशील पिंड (जो 10 सेमी त्रिज्या और 4kg का गोला है) के द्रव्यमान केंद्र की छत से गहराई = तार की लम्बाई + पिंड की त्रिज्या
=5 मी + 10 सेमी
`=5 + (10)/(100) = 5.1` मी
पिंड के निम्नतर बिंदु की छत से गहराई = तार की लम्बाई + पिंड का व्यास
=5 मी `+ 2 xx 10` सेमी
= 5.2 मीटर
`:.` पिंड के निम्नतर बिंदु की फर्श से उँचाहे
= छत की फर्श से उँचाहे -(तार की लम्बाई + पिंड का व्यास)
`= 5.21 - 5.20 = 0.01` मीटर
`:.` दोलन करने समय निम्नतर बिंदु पर पिंड फर्श को छूटा हुआ गति करता है।
`:.` निम्तर बिंदु पर तार की लम्बाई में वृद्धि = 0.01 मीटर और पिंड के द्रव्यमान केंद्र की छत से गहराई `= 5.1 + 0.01 = 5.11` मीटर
तार की लम्बाई में 0.01 मीटर की वृद्धि के कारण पिंड पर लगने वाला बल
`F = (YAl)/(L)`
यहाँ पर `Delta L` लम्बाई में वृद्धि है, A अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल Y तार के पदार्थ का यंग प्रत्यास्थता गुणांक है। L प्रारम्भिक लम्बाई है।
`:. F = (Y xx pi r^(2) l)/(L)`
`=(2 xx 10^(11) xx 3.14 xx (5 xx 10^(-4))^(2) xx (0.01))/(5)`
`=(2 xx 10^(11) xx 3.14 xx 25 xx 10^(-6) xx 10^(-2))/(5)`
`=(2 xx 3.14 xx 25 xx 10^(2))/(5)`
=314N
पिंड पर दूसरा बल है उसका भार
`W= mg = 25 xx 9.8`
=245N, यह बल नीचे की ओर लग रहा है।
`:.` पिंड पर परिणामी बल,
`F = 314-245`
= 69N ऊपर की ओर
`:.` पिंड की गति वृत्तीय गति है और पिंड पर परिणामी बल अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है यदि निम्नतर बिंदु पर पिंड का वेग v m/s हो, तब
`(mv^(2))/(r ) = F`
`(25 xx v^(2))/(5.11) = F= 69`
`:. v^(2) = (69 xx 5.11)/(25)` या `v= sqrt((69 xx 5.11)/(25))`