किसी प्रतिरोध R से प्रवाहित आवेश का समय `t` के साथ विचरण `Q = at – bt^2` के रूप में होता है, जहाँ a तथा b धनात्मक नियतांक हैं। R में उत्पन्न कुल ऊष्मा है

Options

A. `(a^3 R)/(3 b)`
B. `( a^3 R)/(2 b)`
C. `( a^3 R)/(b)`
D. `(a^3 R)/(6b)`

Answer

d

Explanation

दिया है, आवेश, `Q = at – bt^2" "because` हम जानते हैं कि, धारा, `I = (d Q)/(dt)" "…(i)`
यहाँ `Q =` आवेश, `t =` समय, `I =` धारा
`a, b =` धनात्मक नियतांक
इसलिए समी (i) को निम्नवत् लिखा जा सकता है
`I = (d)/( dt) (at - bt^2 )`
अवकलन करने पर, `I=a - 2 bt" "...(ii)`
`t` के महत्तम मान के लिए,
`rArr " "(d Q)/(dt) = 0`
अतः `a - 2bt =0`
`therefore` समय, `t = (a)/( 2b)" "...(iii)`
अत: परिपथ में धारा, `t = 0` से समय `t = (a)/(2b)` तक प्रवाहित होगी।
`therefore` कुल उत्पन्न ऊष्मा `H = int_(0)^(t) I^2 .Rdt, " "{ because I=a-2 bt}`
`int_(0)^((a)/(2b)) (a-2 bt)^2 Rdt " "{ because t = (a)/(2b) }`
`= int_(0)^(a I2b) (a^2 + 4b^2 t^2 - 4 abt) Rdt`
`H= [ a^2 t + 4b^(2) (t^3)/(3) - (4 abt^2 )(2) ]_(0)^(a I2b) R`
उपरोक्त समीकरण को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं कि ,
`rArr H = a^(3) R//6b `