कोई कण किसी सरल रेखा में इस प्रकार गति करता है कि उनका मंदन अपने विस्थापन के अनुक्रमानुपाती है। किसी विस्थापन के लिए इस कण की गतिज ऊर्जा का क्षय निम्नलिखित में से किसके अनुक्रमानुपाती है

Options

A. `x^(2)`
B. `log_(e) x`
C. x= 3 पर उच्चिष्ठ व x =1 पर निम्निष्ठ
D. `e^(e)`

Answer

A

Explanation

प्रश्नानुसार
मंदन `a= protop`
जहाँ k, एक अनुक्रमानुपाती नियतांक है
`Rightarrow (dv)/(dt)=kx`
`Rightarrow (dv)/(dt).(dx)/(dt)=kx`
`Rightarrow v(dv)/(dx)=kx (because v=(dx)/dt)`
`Rightarrow vdv=kx dx `
`therefore int_(vi)^(vf) vdv=kint_(0)^(x)xdx`
जहाँ `v_(i)" व "v_(f)` क्रमश: कण के प्रारम्भिक व अंतिम वेग है। `therefore (v^(2)/2)_(v_(i))^(v_(f))=k(x^(2)/2)_(0)^(x)`
`Rightarrow v_(f)^(2)/2-v_(i)^(2)/2=kx^(2)/2`
`Rightarrow 1/2mv_(f)^(2)-1/2mv_(i)^(2)=1/2mkx^(2)`
` Rightarrow KE_ ("अंतिम")-KE_("प्रारम्भिक")=1/2mkx^(2)` 1
`therefore DeltaKE prop x^(2)`