वेग-समय संबंध, समय-स्थिति तथा वेग -स्थिति के लिए समीकरण प्रतिपादित कीजिए।

Explanation

`("वेग समय")/("स्थिति संबंध")`
कोई वस्तु जो कि एक समान त्वरण के लिए साथ चलती है, उसके वेग-समय ग्राफ को ले। इस ग्राफ से आप देख सकते है कि वस्तु का प्रारंभिक वेग u है। (बिंदु A पर ) और यह t समय में बढ़कर v (बिंदु B पर ) हो जाता है। वेग, एक समान दर `alpha` के साथ परिवर्तित होता है। चित्र में बिंदु B से दो लंब BC एवं BE क्रमशः समय-तथा वेग-अक्षो पर खींचे गए है। प्रारंभिक वेग OA के द्वारा अंतिम वेग BC के द्वारा तथा समयांतराल t, OC के द्वारा प्रदर्शित किया गया है। BD=BC-CD समयांतराल t में वेग में परिवर्तन को दर्शाता है। जब OC के समानांतर AD रेखा खींचे। ग्राफ से हम पाते है कि गति के समीकरणों को प्राप्त करने के लिए वेग समय ग्राफ
`BC=BD+DC=BD+OA`
इसमें BC=v तथा तथा OA=u रखने पर हम पाते है,
`v=BD+u`
या BD=v-u
वेग समय ग्राफ से वस्तु के त्वरण को व्यक्त किया गया है।
`alpha`= `("वेग में परिवर्तन")/("लिया गया समय")`
`=(BD)/(AD)=(BD)/(OC)`
OC=t, रखने पर हम पाते है,
`alpha=(BD)/(t)`
या BD=at
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है
`v=u+at`

II. समय-स्थिति संबंध
मान ले कि वस्तु ने एक समान त्वरण `alpha` से t समय में s दुरी तय की। चित्र 8.8 में वस्तु के द्वारा तय की गई दुरी, वेग-समय ग्राफ AB के नीचे घिरे क्षेत्र OABC द्वारा प्राप्त की जाती है,
s=OABC का क्षेत्रफल (जो एक समलंब है )
= आयत OADC का क्षेत्रफल +त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
`=OAxxOC+(1)/(2)(ADxxBD)`
`OA=u,Oc=AD=t` और BD=at, मान रखने पर हम पाते है,
`S=uxxt+(1)/(2)(txxat)`
या, `S=ut+(1)/(2)at^(2)`
III. वेग-स्थिति संबंध
चित्र में प्रदर्शित वेग-समय ग्राफ से वस्तु के द्वारा एक समान त्वरण a से t समय में तय की गई s को ग्राफ के नीचे समलंब चतर्भुज OABC द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल द्वारा प्रदर्शित किया गया है। अर्थात
s= समलंब OABC का क्षेत्रफल
`=(OA+BCxxOC)/(2)`
`OA=u,BC=v` और OC=t रखने पर हम पाते है,
`=s=(u+vt)/(2)`
वेग-समय संबंध से हम पाते है,
`t=((v-u))/(a)`
समीकरण (3) और समीकरण (4) से हम पाते है,
`s=((v+u)xx(v-u))/(2a)`
`2as=v^(2)-u^(2)`