श्रेणीक्रम में L-C-R परिपथ में तात्कालिक विधुत-धारा का व्यंजक प्राप्त करे यदि उस पर प्रत्यावर्ती विधुत वाहक बल आरोपित हो | अनुनाद के लिए शर्त प्राप्त करे | (Derive expression for instantaneous current in a series L-C-R circuit if connected to an alternating emf. Obtain the condition for resonance.)

Explanation

श्रेणीबद्ध L.C.R परिपथ का विश्लेषण - माना श्रेणीबद्ध LCR परिपथ में एक प्रत्यावर्ती स्रोत का प्रयोग किया गया है जिसका वोल्टेज V है, अत:
`V = V_(m) sin omega t`
परन्तु, V = .L. के परित: विभवांतर +C के परित: विभवांतर +R के परित: विभवांतर

`V = L (di)/(dt) + (q)/(C) + iR`
`V_(m) sin omega t = L (di)/(dt) + (q)/(C) + iR" "...(i)`
चूँकि `i = (dq)/(dt)`
`therefore" "(di)/(dt) = (d^(2)q)/(dt^(2))" "...(ii)`
समी. (ii) का (i) में प्रयोग करने पर,
`V_(m) sin omega t = L (d^(2)q)/(dt^(2)) + R(dq)/(dt) + (q)/(C)" "...(iii)`
समीकरण (iii) अवमंदित दोलक समीकरण के अनुरूप है | माना इस समीकरण का हल निम्नवत है |
`q = q_(m) sin (omega t + theta)`
`therefore" "(dq)/(dt) = q_(m) omega cos (omega t + theta)`
तथा `(d^(2)q)/(dt^(2)) = - q_(m) omega^(2) sin (omega t + theta)`
समी. (iii) से,
`V_(m) sin omega t - q_(m) omega [R cos (omega t + theta) - omega L sin (omega t + theta) + (1)/(omega C) sin omega t + theta]`
क्योंकि, `omega L = X_(I)` तथा, `(1)/(omega C) = X_(C)`
अत:, `V_(m) sin omega t = q_(m) omega [R cos (omega t + theta) + (X_(C) - X_(L)) sin (omega t + theta)....]" "...(iv)`
समी. (v) को `z = sqrt(R^(2) + (X_(C) - X_(L))^(2))` से गुणा करने पर,
`V_(m) sin omega t = q_(m) omega Z [(R)/(Z) cos (omega t + theta) + (X_(C) - X_(L))/(Z) sin omega t +...]" "...(v)`
यदि `(R)/(Z) = cos theta` और, `(X_(e) - X_(L))/(Z) = sin phi" "...(vi)`
तब, `(sin phi)/(cos phi) = (X_(C) - X_(L))/(R), tan phi = (X_(C) - X_(L))/(R)`
`phi = tan^(-1) ((X_(C) - X_(L))/(R))`
समी. (vi) का (v) में प्रयोग करने पर
`V_(m) sin omega t = q_(m) omega Z [cos phi cos (omega t + theta) + sin phi -sin (omega t + theta)]" "...(vii)`
या, `V_(m) sin w t = q_(m) omega Z cos (omega t + theta - phi)`
समी. (vii) के दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
`V_(m) = q_(m) w Z`
`q_(m) omega = i_(m)`
अत: `V_(m) = i_(m)Z`
तथा, `theta - phi = - (pi)/(2)`
`theta = phi - (pi)/(2)`
परिपथ में धारा,
`i = (d theta)/(dt) = (d)/(dt) [q_(0) sin (omega t + theta)]`
`i = q_(m) omega cos (omega t + theta)`
`theta` को `(phi - pi//2)` प्रस्थापित करने पर, 0
`i = i_(m) sin (omega t + phi - (pi)/(2))`
अर्थात, `i = i_(m) sin (omega t + phi)`
समी. (viii) में, जब कि ओम के नियमानुसार,
`i_(m) = (V_(m))/(Z) = (V_(m))/(sqrt(R^(2) + (X_(C) - X_(L))^(2)))`
विधुतीय अनुनाद-श्रेणी LVR परिपथ - यदि किसी LCR श्रेणी परिपथ में किसी दी गयी आवृति की प्रत्यावर्ती सप्लाई के लिए धांरितीय प्रतिघात तथा प्रेरणिक प्रतिघात का मान बराबर हो तथा परिपथ में प्रवाहित धारा अधिकतम हो तो इस स्थिति को विधुतीय अनुनाद (Electrical Resonance) कहा जाता है | किसी श्रेणी LCR परिपथ में,
धारा `I = (E)/(Z) = (E)/(sqrt(R^(2) + (L omega - (1)/(C omega))^(2))) = (E)/(sqrt(R^(2) + (X_(C) - X_(L))^(2)))`
अर्थात यदि परिपथ की प्रतिबाधा (Z) न्यूनतम हो धारा I अधिकतम होती है |
विधुतीय अनुनाद के लिए, `(X_(L) - X_(C)) = 0` अर्थात `X_(L) - X_(C)`
या, `L omega = (1)/(C omega) rArr omega^(2) = (1)/(LC)`
`omega = (1)/(sqrt(LC)) rArr (2 pi f_(0)) = (1)/(sqrt(LC))`
या, अनुनादी आवृति `f_(0) = (1)/(2 pi sqrt(LC))`
स्पष्ट है कि अनुनादी आवृति का मान परिपथ के प्रतिरोध R पर निर्भर नहीं करता है |