सिद्ध कीजिए कि दो आवेशित चालकों को तार से जोड़ने पर आवेश के पुनर्वितरण के दौरान सदैव ऊर्जा की हानि होती है तथा ऊर्जा-हानि का व्यंजक प्राप्त कीजिए।

Explanation

आवेशों के पुनर्वितरण में ऊर्जा का ह्रास-माना दो पृथक्कृत चालकों A तथा B की धारिता क्रमश: `C_1` व `C_2` हैं । जब इन चालकों को `q_1` व `q_2` आवेश दिया जाता है तो इनके विभव क्रमश: `V_1` तथा `V_2` हो जाते हैं।
पहले चालक A की स्थितिज ऊर्जा `U_1=1/2C_1V_1^2`
तथा दूसरे चालक B की स्थितिज ऊर्जा `U_2 = 1/2C_2V_2^2`
अत: जोड़ने से पूर्व दोनों चालकों की कुल स्थितिज ऊर्जा
`U=U_1+U_2=1/2(C_1V_1^2+C_2V_2^2)`
दोनों चालकों को जोड़ने के बाद कुल स्थितिज ऊर्जा
`U.=1/2C_1V^2+1/2C_2V^2 =1/2(C_1+C_2)V^2`
परन्तु `V=(C_1V_1+C_2V_2)/(C_1+C_2)`
अत: `U.=1/2(C_1+C_2)((C_1V_1+C_2V_2)/(C_1+C_2))^2`
`=1/2(C_1V_1+C_2V_2)^2/(C_1+C_2)`
जोड़ने के पश्चात् ऊर्जा में ह्रास
`DeltaU=U-U.=1/2(C_1V_1^2+C_2V_2^2)-1/2(C_1V_1+C_2V_2)^2/(C_1+C_2)`
`=1/2((C_1V_1^2+C_2V_2^2)-(C_1^2C_1^2+C_2^2V_2^2+2 C_1C_2V_1V_2))/(2(C_1+C_2))`
`=(C_1^2V_1^2+C_1C_2V_1^2+C_1C_2V_2^2+C_2^2V_2^2-C_1^2V_1^2-C_2^2V_2^2-2C_1C_2V_1V_2)/(2(C_1+C_2))`
`=(C_1C_2(V_1^2+V_2^2-2V_1V_2))/(2(C_1+C_2))`
`=(C_1C_2)/(2(C_1+C_2))(V_1 ~ V_2)^2`