किसी बिन्दु आवेश के कारण किसी बिन्दु पर वैद्युत विभव के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।

Explanation

बिन्दु आवेश के कारण किसी बिन्दु पर वैद्युत विभव- माना + q कूलॉम का बिन्दु आवेश, K परावैद्युतांक वाले माध्यम में बिन्दु O पर स्थित है (चित्र)। बिन्दु आवेश +q के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र में बिन्दु O से r मीटर दूरी पर कोई बिन्दु A है, जहाँ पर वैद्युत विभव ज्ञात करना है।

माना रेखा OA पर, बिन्दु O से x मीटर की दूरी पर कोई बिन्दु B है, जिस पर परीक्षण आवेश `+q_o` स्थित है कूलॉम के नियमानुसार, बिन्दु आवेश +q के कारण, परीक्षण आवेश +q पर लगने वाला वैद्युत बल
`F=1/(4piepsilon_0K) (q q_0)/x^2` न्यूटन
माना बिन्दु B से, बिन्दु आवेश +q की ओर अनन्त सूक्ष्म दूरी dx पर (अर्थात् दूरी - dx पर) एक अन्य बिन्दु C है, अत: परीक्षण आवेश `+q_0` को बल F के विरुद्ध, बिन्दु B से बिन्दु C तक लाने में किया गया अल्पांश कार्य
dW= बल x दूरी = F x (-dx)
`=1/(4piepsilon_0K)(qq_0)/x^2 xx(-dx)`
`=-1/(4piepsilon_0K) (qq_0)/x^2` जूल
परीक्षण आवेश `+q_0` को अनन्त से बिन्दु A तक लाने में किया गया कुल कार्य
`W=int_oo^r dW=int_oo^r-1/(4piepsilon_0K)(qq_0)/x^2 dx`
`=-1/(4piepsilon_0K)qq_0 int_oo^r (dx)/x^2=-1/(4piepsilon_0K)qq_0 int_oo^r x^(-2)dx`
`=-1/(4piepsilon_0K) qq_0 [x^(-2+1)/(-2+1)]_oo^r`
`=-1/(4piepsilon_0K) qq_0[x^(-1)/(-1)]_oo^r`
`=1/(4piepsilon_0K)qq_0 [1/x]_oo^r =1/(4piepsilon_0K) qq_0 [1/r-1/oo]`
`=1/(4piepsilon_0K)(qq_0)/r` जूल (`because 1/oo=0)`
अत: आवेश +q के कारण, उससे r दूरी पर वैद्युत विभव
`V=W/q_0=1/(4piepsilon_0K) q/r` वोल्ट
परन्तु K = 1, अत: वैद्युत विभव `V=1/(4piepsilon_0)q/r` वोल्ट
इसी प्रकार, बिन्दु आवेश - q के कारण बिन्दु A पर वैद्युत विभव
`V=-1/(4piepsilon_0)q/r` वोल्ट।