पृथक्कृत गोलीय चालक जो परावैद्युतांक K वाले माध्यम में स्थित है, इसके लिए धारिता के सूत्र का निगमन कीजिए।
दो आवेशित चालकों को एक तार द्वारा जोड़ने पर ऊर्जा की हानि के व्यंजक को प्राप्त कीजिए।

Explanation

पृथक्कृत गोलीय चालक की धारिता-माना R त्रिज्या के पृथक्कृत गोलीय चालक पर +q आवेश एकसमान रूप से फैला है।
गोलीय चालक के पृष्ठ पर विद्युत विभव,
`V=1/(4piepsilon_0) q/(KR)`
गोलीय चालक की धारिता `C=q/V = q/(1/(4piepsilon_0K) q/R)`
`C=4piepsilon_0 KR`
दो आवेशित चालकों को तार द्वारा जोड़ने पर ऊर्जा हानि-माना दो चालकों की वैद्युत धारिता `C_1` व `C_2` हैं। चालकों को क्रमश: `q_1` व `q_2` आवेश देने पर उनके वैद्युत विभव `V_1` व `V_2` हैं । अत: `q_1=C_1V_1` तथा `q_2=C_2V_2`

दोनों चालकों को एक तार द्वारा जोड़ने पर उनका उभयनिष्ठ विभव V हो जाता है।
उभयनिष्ठ विभव (V)= `(q_1+q_2)/(C_1+C_2)`
`V=(C_1V_1+C_2V_2)/(C_1+C_2)`...(1)
चालकों को जोड़ने पर ऊर्जा हानि = (चालकों की प्रारम्भिक कुल ऊर्जा) - (चालकों की बाद में कुल ऊर्जा)
`DeltaU=(1/2C_1V_1^2 +1/2C_2V_2^2)-(1/2C_1V^2+1/2C_2V^2)`
`=1/2[C_1V_1^2 +C_2V_2^2-(C_1+C_2)V^2]`
समीकरण (1) से V का मान रखने पर,
`DeltaU=1/2[C_1V_1^2 +C_2V_2^2 -(C_1+C_2)(C_1V_1+C_2V_2)^2/(C_1+C_2)^2]`
`=1/2[(C_1^2V_1^2+C_1C_2V_2^2+C_1C_2V_1^2+C_2^2V_2^2-C_1^2V_1^2-C_2^2V_2^2-2C_1C_2V_1V_2)/(C_1+C_2)]`
`=1/2(C_1C_2(V_2^2+V_1^2-2V_1V_2))/(C_1+C_2)`
`DeltaU=1/2 (C_1C_2)/(C_1+C_2)(V_2-V_1)^2`
ऊर्जा की यह हानि तार में ऊष्मा के रूप में होती है।