हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम कक्षा की त्रिज्या के लिए व्यंजक निगमित कीजिए।

Explanation

हाइड्रोजन सदृश परमाणुओं का बोर का सिद्धान्त-हाइड्रोजन सदृश परमाणु में एकल इलेक्ट्रॉन परमाणु के नाभिक के चारों ओर एक स्थायी कक्षा में घूमता है (चित्र)। माना इलेक्ट्रॉन के आवेश, द्रव्यमान, वेग तथा कक्षा की त्रिज्या क्रमश: e, m,v तथा हैं।
माना नाभिक पर धनावेश Ze है, जहाँ Z परमाणु क्रमांक है। चूँकि इलेक्ट्रॉन को अपनी कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल, नाभिक व इलेक्ट्रॉन के बीच लगने वाले स्थिर वेद्युत आकर्षण बल से प्राप्त होता है। अत:


`(mv^(2))/(r)=(1)/(3piepsi_(0))*(Zexe)/(r^(2))`अथवा `mv^(2)=(Ze^(2))/(4pi epsi_(0)r) " "...(1)`
परन्तु इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग `mvr=n(h)/(2pi)`
जहाँ n= 1, 2, 3, ... क्वाण्टम संख्या तथा प्लांक-नियतांक है। समीकरण (2) का वर्ग करके समीकरण (1) से भाग देने पर,
`(m^(2)v^(2)r^(2))/(mv^(2))=(n^(2)h^(2)4pi epsi_(0) r)/(4pi^(2)Ze^(2))`
हल करने पर, त्रिज्या `r=n^(2)(h^(2) epis_(0))/( pi mZe^(2)) " " ..(3)`
यह स्थायी कक्षाओं की त्रिज्या का व्यंजक है। इसमें `epsi_(0),h,n,m,e` तथा z : नियतांक है।
अत: `r prop n^(2)`
अत: स्थायी कक्षाओं की त्रिज्या, उनकी कक्ष संख्या अथवा क्वाण्टम संख्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है।
' हाइड्रोजन परमाणु के लिए Z = 1 तथा प्रथम कक्षा के लिए n = 1
अत: `r_(1)=(h^(2) epsi_(0))/( pi me^(2))` यह हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम बोर त्रिज्या का सूत्र है तथा इसका मान 0.53Å होता है।