एक समान चुम्बकीय क्षेत्र `vec(B)`में स्वतन्त्र रूप से झूलते छड़ चुम्बक के दोलन काल का व्यंजक प्राप्त करें।

Explanation

यदि कोई चुम्बकीय द्विध्रुव (छड़ - चुम्बक) चित्र में दर्शाये अनुसार किसी समरूप चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित है तो चुम्बक के उत्तरी तथा दक्षिणी ध्रुव समान तथा विपरीत बल अनुभव करते है।
(i) चुम्बक की चुम्बकीय लम्बाई `=2l` (ii) प्रत्येक ध्रुव की ध्रुव की सामर्थ्य `q_(m)`
(iii) चुम्बकीय क्षेत्र की सामर्थ्य `=B` तथा (iv) `vec(B)` के सापेक्ष चुम्बक की स्थिति = 0

उत्तरी ध्रुव पर कार्यरत बल `q_(m),B,vec(B)` के अनुदिश दक्षिण ध्रुव पर कार्यरत बल विपरीत ये बल एक युग्मक की निर्माण करते है जिसकी प्रवृत्ति चुम्बक को `vec(B)` दिशा में घुमाने की होती है इस प्रकार चुम्बकीय बल आघूर्ण अनुभव होता है
अतः छड़ चुम्बक पर कार्यरतम बल आघूर्ण बल बलों के मध्य लम्बवत (1) दूरी
`=q_(m)BxxZN=mB(SN sin theta)=q_(m)B(2lsin theta)`
`=(q_(m)xx2l)B sin theta` या `tau=mB sin theta`
सदिश रूप में, `vec(tau)=vec(m)xxvec(B)`
जब `B=1` इकाई तथा `theta=90^(@)` तब समीकरण (i) से `tau=m`
(चूँकि `sin90^(@)=1`)
इस प्रकार, चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण को इकाई सामर्थ्य वाले समरूप चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत स्थित चुम्बकीय द्विध्रुव पर कार्यरत बल आघूर्ण द्वारा परिभाषिट किया जा सकता है माना कि छड़ चुम्बक का कोणीय त्वरण `alpha` तथा I बल - आघूर्ण है |
तब `Ialpha=-mBsintheta`
`alpha=(-mB)/(I)sinthetaalpha=(-k)sin theta`
अतः स्पष्ट है कि छड़ चुम्बक Simple Harmonic Motion कर रहा है |
`:." दोलन काल "=sqrt(("कोणीय विस्थापन")/("कोणीय त्वरण"))" ":.T=2pisqrt((theta)/((MB sintheta)/(I)))`
अगर `theta` is very less `sin theta=theta" ":.T=2pisqrt((I)/(MB))`