m द्रव्यमान का एक गोलक L लंबाई की हल्की डोरी से लटका हुआ है। इसके निम्नतम बिंदु A पर क्षैतिज `v_(0)` वेग इस प्रकार लगाया जाता है कि उर्ध्वाधर तल में अर्धवृत्ताकार प्रक्षेप्य पथ को इस प्रकार तय करता है कि डोरी केवल उच्चतम बिंदु C पर ढीली होती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। निम्न राशियों के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए : (a) `v_(0).` (b) बिंदुओं B तथा C पर गोलक कि चाल तथा (c) बिंदु B तथा C पर गतिज उर्जाओं का अनुपात `(K_(B)/K_(C))` गोलक के बिन्दु C पर पहुंचने के बाद पथ कि प्रकृति पर टिप्पणी कीजिए।

Explanation

(a) बिन्दु A पर ऊर्जा संरक्षण नियमानुसार
कुल ऊर्जा E = K + U
`rArr E = (1)/(2) mv_(0)^(2) + mg xx 0`
`rArr E = (1)/(2) mv_(0)^(2)` . . . (1)
स्थिति A पर गोलक पर परिणामी बल
`T_(A) - mg = (mv_(0)^(2))/(L)` . . . (2)
बिन्दु C पर ऊर्जा संरक्षण नियमानुसार
`E = (1)/(2) mv_(c)^(2) + mg xx 2 L`
`E = (1)/(2) mv_(c)^(2) + 2mgL` . . . (3)
स्थिति C पर गोलक पर परिणामी बल
`mg = (mv_(c)^(2))/(L)` . . . (4)
समी. (3) तथा (4) से
`E = (1)/(2) mgL + 2 mgL`
`= (5)/(2) mgL`
समी. (1) से
`(5)/(2) mgL = (1)/(2) mv_(0)^(2)`
`rArr v_(0)^(2) = 5 gL`
`rArr v_(0) = sqrt(5 gL)`
(b) समी. (4) से
` v_(c)^(2) = gL`
`rArr v_(c) = sqrt(g L)`
बिन्दु B पर ऊर्जा संरक्षण नियमानुसार
`E = (1)/(2) mv_(B)^(2) + mg L`
समी. (1) काम में लेने पर
`(1)/(2) mv_(0)^(2) = (1)/(2) mv_(B)^(2) + mgL`
`rArr (1)/(2) m xx 5 gL = (1)/(2) mv_(B)^(2) + mgL`
`rArr (1)/(2) v_(B)^(2) = (5)/(2) gL - gL = (3)/(2) gL`
`rArr v_(B) = sqrt(3 gL)`
(c) बिन्दु B तथा C पर गतिज ऊजाओं का अनुपात
`(K_(B))/(K_(C)) = (1//2mv_(B)^(2))/ (1//2 mv_(C)^(2))`
`=(3gL)/(gL) = (3)/(1)`
उच्चतम बिन्दु C पर डोरी ढीली हो जाती है तथा गोलक का वेग बायीं ओर क्षैतिज हो जाता है। इस स्थिति में गोलक वृत्ताकार पर्थ पर अपनी गति को पूर्ण करता है।