(i) सदिशों `vec(A)` व `vec(B)` में यदि ` vec(A) + vec(B) = vec(C)` तथा A + B = C तो सिद्ध कीजिए कि `vec (A)` व `vec(B)` परस्पर समान्तर है ।
(ii) यदि `vec(A) + vec(B) = vec(C)` तथा `A^(2) + B^(2) = C^(2)` हो तो सिद्ध कीजिए कि `vec(A)` व `vec(B)` परस्पर लम्बवत् है।

Explanation

(i) दिया गया है -
`vec(A) + vec(B) = vec(C)`
दोनों ओर स्वतः अदिश गुणनफल करने पर
`(vec(A) + vec(B)) * (vec(A) + vec(B)) = vec(C) * vec(C) `
`rArr A^(2) + vec(A) * vec(B) + vec(B) * vec(A) + B^(2) = C^(2)`
`rArr A^(2) + vec(A) * vec(B) + vec(A) * vec(B) + B^(2) = C^(2)`
`rArr A^(2) + 2 vec(A)* vec(B) + B^(2) = C^(2)`
`rArr A^(2) + 2 AB cos theta + B^(2) = C^(2)` . . . (1)
परन्तु A + B = C
`rArr (A + B)^(2) = C^(2)`
`rArr A^(2) + 2 AB + B^(2) = C^(2)` . . . (2)
समी. (1) व (2) से तुलना करने पर
`cos theta = 1= cos 0^(@)`
`rArr theta = 0^(@)`
अतः `vec(A) ` व `vec(B)` परस्पर समान्तर है ।
(ii) दिया गया है -
`vec(A) + vec(B) = vec(C)`
`:. A^(2) + 2 AB cos theta + B^(2) = C^(2)` [ समी. (1) की भांति ]
परन्तु `A^(2) + B^(2) = C^(2)`
`:. 2 AB cos theta = 0 ` (` :. A ne 0, B ne 0` )
`rArr cos theta = 0 = cos 90^(@)`
`rArr theta = 90^(@)`
अतः `vec(A) ` व `vec(B)` परस्पर लम्बवत् है।