गॉस के नियम को लिखें। इसकी सहायता से किसी अनन्त विस्तारित समरूप आवेशित पतले आवेशित सीधे तार के कारण किसी बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए व्यंजक प्राप्त करें।

Explanation

गॉस का प्रमेय - गॉस प्रमेय कार्ल गॉस के द्वारा दिया गया था। इस प्रमेय द्वारा किसी किसी विद्युत क्षेत्र में रखे गए किसी बंद तल से होकर गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स एवं तल के अंदर स्थित कुल आवेश में संबंध ज्ञात होता है।
कथन - विद्युत क्षेत्र में किसी बंद तल से होकर गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स तल से होकर गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स तल के भीतर उपस्थित कुल विद्युत आवेश का `(1)/(epsilon_0)` गुणा होता है जहाँ `epsilon_0` मुक्त आकाश की परावैधुता है।

अर्थात `phi_(E)=oint vec(E).vec(dA)=(1)/(epsilon_0)sum_(i=l)^(h)theta`
अनंत लम्बाई के आवेशित तार के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता - माना कि AB एक अनंत लम्बाई तथा एक समान रूप से आवेशित चालाक है। जिसके प्रति एकाक लम्बाई पर आवेश `lambda` है। जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
बेलन के अक्ष से r दूरी पर कोई बिन्दु P स्थित है। जहाँ आवेशित बेलन के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E ज्ञात करनी है।

अब जैसा कि चित्र में दिखाया गया है आवेशित बेलन के समाक्षीय ,l लम्बाई तथा r त्रिज्या के एक दूसरे बेलनाकार तथा CD को कल्पना करें जो P से होकर गुजरता है। इसके समतल सिरे अक्ष के लंबवत है। ऐसी सतह गॉसीयन समतल कहा जाता है।
चूँकि बेलन की वक्र सतह का क्षेत्रफल `2pi r l`
अतः इसके संपूर्ण तल से गुजरने वाले फ्लक्स `=phi_(E)=EA=E 2pi r l`
गॉसीयन सतह तीन भाग में बाटा जा सकता है। भाग (i),(ii) और (iii) में जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
अब `oint vec(E).vec(ds)=(1)/(epsilon_0)theta`
अतः `int_(I)vec(E).vec(ds)+int_(II)vec(E).vec(ds)+- int_(III)vec(E).vec(ds)=(1)/(Sigma_0)lambdal` [चूँकि `theta=lambda l`]
या `int Eds cos theta + int Edscos theta+intEdscos theta=(lambda l )/(epsilon_0)`
चूँकि समतल (i) के लिए `theta=0^(@)`
समतल (ii) के लिए `theta=90^@`
समतल (iii) के लिए `theta=90^@`
अतः ` E int ds + 0 +0 =(lambda l)/(Sigma_0) or , E xx 2 pi r h =(1)/(epsilon_0)lambda h`.
`E=(1)/(2piepsilon_0)(lambda)/(r)E =(1)/(2piepsilon_0)(2lambda)/( r)` .